经典线性代数课件.pptVIP

前 言 随着经济和计算机技术的飞速发展，许多实际问题需要用线性代数知识来解决，线性代数已成为高等院校理工、经济、管理等专业的一门必修课。同时，线性代数对于数学建模，对于提高人的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力都有重要的作用。本课程主要给大家介绍线性代数的一些基础知识，包括行列式、矩阵和一般线性方程组的解法等。 第1章 行列式 2.三阶行列式 除了上(或下)三角形行列式，还有一些特殊的行列式。 例2. 当λ,μ取何值时，下列齐次线性方程组 1.用对角线法则计算下列行列式: (1) ； (2) . 4.化下列行列式为上三角形行列式, 并计算其值: (1) ； (2) . 7. 当λ取何值时，下列齐次线性方程组 §2.3 逆矩阵 复 习 第一章 行列式 第二章 矩阵 第三章 向量 第四章 线性方程组及其解法 2. 向量的线性相关性 关于向量组线性相关性的几个重要定理和推论： 向量部分习题 定理2.1 方阵A可逆的充要条件是|A|≠0 ，且　　　　　　 证明: 颜色相同的乘积之和为|A|;颜色相异的乘积之和为0. 按逆矩阵的定义得 证毕 于是 推论: 证: 例2 判断方阵 是否可逆,若可逆,求出逆矩阵. 解: 经计算, 同理可得 于是 例3 证明 3.逆矩阵的性质 证明 注意：一般情况下，矩阵不满足消去律，但若A是可逆方阵，则可由AB=AC两边同时左乘A-1推出B=C；同样在A是可逆的条件下，由AB=O可推出B=O. 4.逆矩阵的应用 用矩阵的逆矩阵可以求线性变换的逆变换，解矩阵方程和一些线性方程组。下面举例说明。 例4 解： 即所求变换的逆变换。 解： 给方程两端左乘矩阵 例5 例6 解： §2.4 矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的特点：零行在最后，一行一阶梯，阶梯线下方全为0. §2.5 矩阵的初等变换 定理2.2： 2.关于矩阵初等变换的两个重要定理 行阶梯形矩阵的特点可概括为：零行在最后，一行一阶梯，阶梯线下方全为0. A 行阶梯形矩阵B，得R(A)= R(B) 初等行变换 定理2.3： 解： 行阶梯形矩阵B 行最简形矩阵C 上式中的第三个矩阵为行阶梯形矩阵,第四个矩阵为行最简形矩阵. 由于行阶梯形矩阵B中非零行数为3, 所以 R(A)= R(B)= R(C)= 3. 例 2 所以R(A)=2， R(B)= 3. (A，E ) (E，A-1) 初等行变换 对于n阶方阵A，构造n×2n矩阵(A，E ), 并对它施行一系列初等行变换，可以证明，当矩阵(A，E )左边的A化为单位矩阵E时，其右边的E就化为A的逆矩阵A-1. 即有 例3 设方阵 ,利用初等变换求A的逆矩阵. 解： 设有矩阵方程AX=B，若A可逆，则X=A-1B. 由A-1 (A，B )= (E, A-1 B )可知, 若对矩阵(A，B ) 施行初等行变换，当矩阵A化为单位矩阵E时，矩阵B就转化为A-1 B. 由此可得到利用初等变换求解矩阵方程AX=B的方法: (A，B ) (E，A-1B),则X=A-1B. 初等行变换 注意:以上方法只能使用初等行变换,而且当矩阵(A,E )左边的A不能化为单位矩阵E时，则说明矩阵A不可逆. 例4 解矩阵方程AX=A+X,其中 解： 将所给方程变形为AX－X=A,即(A－E)X=A. 此外，利用矩阵的初等变换还可以求解线性方程组，这部分内容将在第四章专门介绍。 矩阵部分习题 矩阵部分习题参考答案 第3章 n维向量 1. n维向量的概念 §1.3 克莱姆（Cramer）法则 第 j 列 例1. 用克莱姆法则解线性方程组 解： 由于方程组的系数行列式 用常数列依次替代系数行列式中的第1、2、3列得 故方程组的解为: 解：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D必为0。 有非零解？ 行列式部分习题 2.求行列式D= 中元素x的余子式和代数余子式的值. 3. 根据行列式的性质