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第四节 空间直线及其方程 一、空间直线的方程 二、两直线的夹角 ■小结 * 一、空间直线的方程 二、两直线的夹角 三、直线与平面的夹角 四、平面束及其方程 1.直线的点向式(对称式)方程 其中, 点 为直线上的一个已知点, 为直线的方向向量. 注 10 直线 的一个方向向量 ──平行于直线 的一个非零向量. 20 若 是直线 的一个方向向量,则 也是 直线 的方向向量. 30 直线的方向向量 的坐标m, n, p称为直 线的一组方向数, 而方向向量的余弦称为该直线的 方向余弦. 2.直线的一般式方程 直线的一个方向向量为 注 3.直线的参数式方程 ( t 为参数) 其中, 点 为直线上的一个已知点, 为直线的方向向量. 例1 把直线方程 解 化为对称式与参数式. 先在直线上找一点. 令 x = 1, 解方程组 ,得 直线的方向向量可取为 是直线上一点 . 再求直线的方向向量 故直线的对称式方程为 参数式方程为 所求直线的方向向量可取为 解 故所求直线方程为 直线 直线 1.两直线夹角的定义 定义 两直线的方向向量的夹角（通常取锐角）称为两直线的夹角. 2.两直线夹角的计算公式 设 则 特别地, 定义 三、直线与平面的夹角 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． 1.直线与平面夹角的定义 ? ? ^ ^ 2.直线与平面夹角的计算公式 设 则 ︿ 特别地, 解一 可设垂足N的坐标为 . N . 于是, 由于 ( ), 故 于是,所求直线的方向向量可取为 故所求直线方程为 解二 设过点M且垂直于已知直线的平面为 过点M 及已知直线的平面为 则 的法向量可取为 的法向量可取为 在已 知直线上取点 故 的方程为 故 的方程为 即 即 故所求直线方程为 四、平面束及其方程 1. 平面束的概念 定义 通过定直线L的所有平面的全体称为以直线L为轴的 平面束. 2. 平面束的方程 以直线 L: 为轴的平面束 中任一平面(除平面 外)的方程为: 例4 求直线 在平面 上的 投影直线的方程. 解一 设投影平面的方程为 ① 即 由于投影平面与已知平面垂直, 于是, 故 代入①式,得投影平面的方程为 故投影直线的方程为 解二 已知直线的方向向量可取为 已知平面的法向量为 投影平面的法向量可取为 显然,点(0,1,0)在已知直线上, 从而在投影平面上, 故投影平面的方程为 即 故投影直线的方程为 例4 求直线 在平面 上的 投影直线的方程. 解三 例4 求直线 在平面 上的 投影直线的方程. 在已知直线上取两点: 过点 分别作已知平面的垂线 的方程分别为: ① ② 将①、②分别代入已知平面方程中,得 故垂足的坐标为 于是投影直线的方向向量为 故投影直线的方程为 一、空间直线的方程 1.点向式(对称式) 2.一般式 3.直线的参数式 * * * *