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《高数总复习》第四讲 微积分应用 二、例题分析 三、思考与练习 * 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1.导数的应用 一、基本知识点 (1) 几何应用: (2)实际应用: 对于实际问题求解最值，即“用料最省”、 “效率最高”、“成本最低”等 单调性、 极值、 凸凹性、 拐点、 渐近线、 曲率、 相关变化率 2. 定积分的应用 几何应用 : 面积、 体积、 弧长、 表面积 . 物理应用 : 质量、 作功、 侧压力、 引力. 1. 即证 解： 设 由介值定理，即得所证. 证明: 由零点定理,可知 2. 3. 求 f (x) 的间断点，并判断类型 . 设函数 解: f (x) 的可能的间断点为 4. 解: 于是 又 所以 5. 解： 6. 非奇非偶函数,且无对称性. 解： 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极值点 间断点 作图 证明： 7. 令 在 [ 0 , ] 上单调减少的连续函数， 设 证明 求证 证 ： 令 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 令 8. 9. 求 的极点，并判断极大、极小. 解： 设 10. 得 为极大点， 为极小点。 解： 最小值 最大值 原式两端同时对 x 求导 上式两端同时再对 x 求导 求 在 上的最值， 设 11. 其中 解: 由驻点的唯一性及实际问题最小值存在性知，在 处 的最小曲率半径. 求曲线 12. 使曲线和切线 l 及 直线 x =0 ,x = 2所围平面图形的面积最小。 解: 设切点为 切线方程 面积 比较知 时，s 最小。其切线方程 的一条切线 l , 求曲线 13. 14. 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积。 解: 与 x 轴所围成平面图形 求曲线 15. 曲线开口向下， 平面图形的面积A， 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 解： 与直线 求曲线 所围成 16. 1. 2. 证明双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴 构成的三角形的面积都等于 证明略