三重积分的计算11.5.8.ppt

一、直角坐标系下三重积分的计算 例1 例3 2. “先二后一”法(截面法) 注 1o 何时采用“先二后一”法(截面法)? 例4 何时采用柱面坐标？ 例6 例9 例10 备用题 1. 计算 2. 3. 4. 例2 例5 计算 解 x y z O 在xOy面上的投影域为半径为 1 的圆域， 1 x y z O 解 所围成的立体如图， 例7 x y z O 1o 所围成立体?在xoy面上的投影区域D D D2 D1 方法1(求围定顶法） x o y 2o 定顶 方法2(先二后一法） x y z O x y O z Dz 2 8 三、球面坐标系下三重积分的计算 称为点M 的球坐标. 设 令 的夹角为 正 z 轴与 则 由 直角坐标与球面坐标有如下关系： 直角坐标与球面坐标有如下关系： 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 常数 常数 常数 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时表达形式简单. 何时采用球面坐标？ 例8 计算三重积分 解 所围立体. 其中? 与球面 为锥面 在球面坐标系下, 则 求 其中 解 原式= 设 1o 所围成立体?在xoy面上的投影区域D 2o 定顶 D z=a a 0 a ? a D z=a a ? 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; 注 内容小结 1. 将 用三次积分表示, 其中?由 所 提示 六个平面 围成 , 思考与练习 2. 设 计算 提示 利用对称性 原式 = 奇函数 所围成. 其中 ? 由 分析 若用直角坐标“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“先一后二”或柱面坐标较好. 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 故表为 解 利用区域的对称性 因被积函数仅依赖于 解 及被积函数的奇偶性, 可推得 球面与锥线的交线是: 因此 解 于是 三重积分的计算 二、柱面坐标系下三重积分的计算 一、直角坐标系下三重积分的计算 三、球面坐标系下三重积分的计算 第三节 第十二章 假设： 2o 过?内任一点M且平行于某坐标轴的直线与? 的边界曲面S 至多有两个交点. 以下以z 轴的情形为例. 1. “先一后二”法(求围定顶法) ? 在xOy面上的投影区域为Dxy , x y z O Dxy S2 S1 z1 z2 以Dxy的边界为准线作母线平行z 轴的柱面. 这柱面与 的边界曲面S 相交， 并将S分成上、下两部分: x y z O S2 S1 Dxy (x, y) z1 z2 过Dxy内任点(x, y)作平行于z 轴的直线， 这直线通过曲面S1穿入? 内， 通过曲面S2穿出? 外， 则? 可以表示为： x y z O S2 S1 Dxy (x, y) z1 z2 先将 x, y 看作定值， 将 只看作 z 的函数， 积分法(“先一后二”法): 上 对z 积分， 在区间 再计算F (x, y)在投影区域 上的二重积分， 即 上式也常记作 从而原三重积分可表示为 先一后二 则 若 可表示为： x y z O S2 S1 z1 z2 Dxy (x, y) x 先对z ,再对y,最后对x 的三次积分 a b 1o 若将积分域 ? 投影到 yOz 或 xOz面上，则 注. 可把三重积分化为按其它顺序的三次积分. 2o 用“先一后二”法(求围定顶法)求三重积分的步骤： (1) 求围 求积分域 ? 在某坐标面，如：xOy 面上的 投影区域 Dxy; (2) 定顶 下顶 S1: 上顶 S2: (3) 定限 过Dxy中任意一点(x, y)，作平行于z 轴的直线， 由下至上穿?， 穿入点所对应的竖坐标为最内层积分的下限. (出) (上) x y z O S2 S1 Dxy z1 z2 (x, y) x y z O S2 S1 Dxy x (x, y) z1 z2 . (3) 计算 a b 解 1o 求围 消去z 2o 定顶 O x y –1 1 解 1o 求围 例2 2o 定顶 o x y -1 1 1 o x y -1 1 1 x y z O x y z O . 计算三重积分 所围成的闭区域 . 坐标面及平面 其中 是由三个 解 (先一后二法) 1o 求围 将 投影