2.2线性代数.pptVIP

2.2 行列式的性质与计算 一、行列式的性质 二、行列式的计算 三、方阵乘积的行列式 例 计算 同理 证 性质4（行列式的初等变换） (1) 将A的第i行乘以数k得到A1，则 detA1 = k(detA)； 推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值 性质5 设A为n阶矩阵，则 二、 行列式的计算 例 计算 三、方阵乘积的行列式 定理 设A, B为n阶方阵，则 推论 设Ai (i=1, …, t)为n阶矩阵，则 小 结 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. (2)设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立 n-1阶范德蒙德行列式 第一章 行列式 例 计算 特点:“0”多 方法:降阶找递推公式. 第一章 行列式 解 按第1行展开 第一章 行列式 递推公式 解 加边法 1.可逆矩阵的行列式； 2.矩阵乘积的行列式. 解决2个问题： 定理 设A, B为n阶方阵，则 定理 方阵A可逆的充要条件为detA≠0. 定理 方阵A可逆的充要条件为detA≠0. 设 即存在初等矩阵 若A不可逆， 则R的最后一行的元全为零， 则R= I， 证 证 即存在初等矩阵 若A不可逆， RB的最后一行全为零. 则R的最后一行全为零, 若A可逆， 则R=I, 推论 设A, B为n阶矩阵，且AB=I (或BA=I), 则B=A -1. 证 A可逆 A -1 AB= A -1 I= A -1 B= A -1 det(A -1)= 推论 第 列 第 列 行列式中行与列具有同等的地位, 因此凡是对行成立的性质对列也同样成立. 性质5 设A为n阶矩阵，则 性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即 行列式按任一列展开，其值相等，即 性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零. n阶行列式某两列对应元全相等，则行列式为零. 解 例 计算行列式 例 证明奇数阶反对称阵的行列式必为零. 证 An (n为奇数)满足： 行列式性质小结 二、3类初等变换 ： 1.换行值反号, 2.倍乘值倍乘, 3.倍加值不变. 三、3种为零： 1.有一行全为零, 3.有两行成比例. 2.有两行相同, 四、1种分解. 五、 一、按行展开 ： 凡是对行成立的性质对列也同样成立. 计算行列式常用方法：利用运算　　　 把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值． 例 解 例 计算 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 连乘号： 例 求第一行各元素的代数余子式之和 分析 两个行列式第一行各元素的代数余子式一样 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 解 * n 阶行列式 一、行列式的性质 3阶行列式 性质1 行列式按任一行展开，其值相等，即 为划去A的第i行 的余子式. 的代数余子式. 和第 j 列后，所得的 n－1 阶行列式， 推论 若行列式的某一行全为零，则行列式等于零. 例 解 例 计算行列式 解 性质2 n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零. 即当 aik = ajk ， i≠j, k=1,…, n时，det A = 0. 证 由于Mkl(l=1,…,n)是n-1阶行列式， 设结论对n-1阶行列式成立， （归纳法） 结论对2阶行列式显然. 对于n阶：按第k(?i, j)行展开 且其中都有两行元全相等， 所以 例 性质3 例 观察 ：与矩阵加法的区别 ？ 若把行初等变换施于n阶矩阵A上： (2) 将A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2 ,则 detA2 = detA； (3) 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA. (1) 将A的第i行乘以数k得到A1，则 detA1 = k(detA)； 证 (1)将A1按第i行展开， 即 例如 观察 ：与矩阵数乘的区别 ？ 例如 为零. 证明 (2) 将A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2 ,则 detA2 = detA； 例如 i行 j行 (3) 交换A的两行得到A3, 则 detA3 = - detA. i行 j行 例如 应 用 1. 初等矩阵的行列式： 2. 初等矩阵与任一方阵A乘积的行列式： 初等矩阵乘任意矩阵的行列式 等于行列式的乘积 对初等矩阵E, 初等矩阵乘任意矩阵的行列式 等于行列式的乘积 证 即存在初等矩阵 设 又A不可逆? AT不可逆 所以 det AT = 0