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导数之恒（能）成立问题全解析薛冠军QQ:1120129201 山东省新泰市青云路802号2#楼401室恒成立问题为高考热点，多与导数结合，既考察学生的计算能力，又考察分类讨论，化归转化，数形结合等多种数学思想，综合性极强。该题型通法为分离参数法，即将问题化归转化为给定区间上的af(x)(或af(x))形式后求解af(x(或af(x)即可。需要注意的是自变量系数部分为一个代数式或不等式两边同时除以一个代数式时，该代数式符号要能确定，否则就要分类讨论，或结合具体条件寻找有无特法。如：x[]时，ax+20恒成立，求实数a的取值范围。除了分类讨论法，本题只要使线段的两个端点均在x轴上方即可，即易得-2a2。又如：已知函数(a - )+ lnx ，aR。（1）当a=1时，求f(x)在[1,e]上的最值；（2）当x时，函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围。解：（1）易知f(x)=x+0，f(x=f(1)=，f(x=f(e)=1+；（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a - )+ lnx -2ax 。由题知x时，g(x)0恒成立。因为g(x)=(2a - 1)x - 2a+ =。，即a=时，检验得符合要求；当时，令g(x)=0得x=1或x=。当,即时，x时g(x)0 ，1x时g(x)0 。故x时g(x)不合题意，舍去；当0,即a1时，x时g(x)0 ,g(x)不合题意，舍去；当0,即a时，2a-10,x时g(x)0，g(x)递减，只要g(1)= - a - ,则此时 ,综上可知，实数a的取值范围为将本题型再引申拓展后，难度又会增大。即在求解不等式h(x)0时出现不可解情况。如下题第三问：已知函数-（2a+1）x + alnx .(1)若a=1,求函数f(x)的增区间；（2）求函数f(x)在区间[]上的最小值；（3）设g(x)=(1-a)x ，若存在[]，使得f()g()成立，求实数a的取值范围。解（1）f(x)=-3x+lna , f(x)=2x-3+ =。令f(x)=0，得x=1或x=，令f(x)0得0x或x1。所以f(x)的增区间为（0，）和（1，+）。（2）由f(x)=2x-(2a+1)+ = 。令f(x)=0，得x=a或x=。易知：时， f(x)在[1,e]上递减，所以f(x=f(e)=；当1ae时，f(x)在[1,e]上递减，在[a,e]上递增，所以f(x=f(a)= - -a+alna ；当a1时，f(x)在[1,e]上递增，所以f(x=f(1)= - 2a 。综上可知，f(x=。（3）由题知，不等式f(x)g(x)在[]上有解，即因在[]上有解。因为x[]时，lnx，x[]时，lnx所以lnx0。所以a在[]上有解，只要[]时，a。设h(x)=，则h(x)==。因为[] 所以x+22，所以x+2-2lnx0。当时，x-10，h(x)0，所以h(x)为减函数；时x-10，h(x)0，所以h(x)为增函数。而h()==0，h(e)=0。所以当[]时，h(x=h(e)=所以a=。所以a的取值范围为（，。再如本题第三问：已知函数 + xlnx，g(x)= - 3 。(1)若a=2,求曲线f(x)在x=1处的切线方程；（2）存在[0,2],使得g()-g()M成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）若对任意[]，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围。解：（1）x+y-3=0；（2）由题得[g()-g()，即g(-g(。而g’(x)=3-2x=3x(x-)所以g(x)在（0，）上递减，在（）上递增。故g(=g（）= - ，g(=g（2）=1，g(-g(=4，满足上述条件的最大整数M=4。（3）由题得，在[]上，f(g(。由（2）知g(=g（2）=1，所以在[]上，f(恒成立，即[]时，，也即a恒成立。设h(x)=，则有h(x)=1 - 2xlnx – x ，而[]时，[h(x)]= -3 -2lnx0，所以h(x) 在[]上递减，又h(1)=0，故[h(x)0，(h(x)0 ,所以h(x)在[上递增，在[上递减，所以h(=h（1）=1，所以a1。解决这类不可解问题时，往往要对导数再求导，并结合函数的特殊值来确定式子的符号，从而确定单调区间，进而解决问题。借助定义有时也能起到意想不到的效果，如本题方法二：已知函数+2x+alnx .(1)若a=-4,求函数的极值；（2）当t1时，不等式f(2t-1)2f(t)-3恒成立，求实数a的取值范围。略（2）法1：1时，由f(2t-12f(t)-3得0.设g(t)=,则有 (t)=4t-4 ,令 (t0，-2t-a0.讨论=4+16a0,即a时， (t0恒成立，则g(t)在[1,上递增，故g(=g(1)=0，所以a=4+16a=0,即a=时，检验知符合要求=4