刚体力学_功 动能定理.pptVIP

例 如图，在光滑的水平面内有一轻质弹簧（劲度系数为k），它的一端固定，另一端系一质量为m’的滑块。最初滑块静止时，弹簧的呈自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向并且垂直于弹簧的轴线方向射向滑块并留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧伸长至l时，求滑块速度的大小和方向。 解：简单分析可知： （1）子弹与滑块的碰撞过程动量守恒 （2）滑块运动过程机械能守恒、角动量守恒 设v’为子弹打入滑块的瞬间它们的共同速度，当弹簧伸长至l时滑块的速度v与l的夹角为?，于是有 * 4 – 4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 力矩的功 一 力矩作功 二 力矩的功率 一个作定轴转动的刚体其总动能, 三 转动动能 四 刚体绕定轴转动的动能定理 即转动动能为 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 . 讨 论 子弹击入沙袋 细绳质量不计 以子弹和沙袋为系统 动量 角动量 机械能 守恒； 守恒； 不守恒 . 圆锥摆 子弹击入杆 以子弹和杆为系统 机械能 角动量 动量 圆锥摆系统 动量 机械能 不守恒； 守恒； 守恒 . 对 轴角动量 不守恒； 守恒； 不守恒 . 例 一质量为 m 长为 L 的均匀细棒 OA 可绕通过其一端的光滑轴 O 在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时 （1）质心 C 和端点 A 的线速度 （2）质心 C 的线加速度 解: (1) 把地球、细棒看作一系统, O点的支撑力(非保守内力)不作功, 因为轴光滑.系统的机械能守恒, 设重力零势能如图 零势面 方向：向左 (因竖直位置M=0 ?=0) （2） 例、 一根质量为 M ，长为 的均匀细棒，可绕通过棒 中心的垂直轴 Z ，在XY平面内转动。开始时静止，今有质量为 m 的小球以速度 逆着轴的方向碰撞棒的端点，假设碰撞是弹性的，试求碰撞后小球的弹回速度 和棒的角速度 。 研究系统：小球、细棒 系统的外力有小球的重力(与转轴平行)、细棒的重力和转轴上的支撑力(通过转轴).系统所受合外力矩为零而角动量守恒. 弹性碰撞系统动能守恒： 联立将 代入，舍弃 的解 从上往下看,以顺时针 方向为正 R h m m m 和 、 分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度 . 例 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m 的物体 . 问物体由静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . 解1 拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力 的力矩所作的功为 m 物体由静止开始下落 解得 并考虑到圆盘的转动惯量 对m应用质点动能定理 m 解2 以圆盘、重物、绳及地球组成的系统,考虑重物从初始到下降h这一过程中,系统外力不作功,系统内非保守力,即绳中张力作功代数和为零.所以是机械能守恒过程. R m m m h m R m 而 代入解得 L o 例。一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴O固定.在微扰动作用下以O为轴倒下.求:当杆与竖直方向成 ? 角时，对轴的角速度? ?? ? = ？ 解：先求在任意角? 时杆对O点的力矩(重力矩)。 质量元： dm x 质量元对轴的力矩为 M是变力矩，由刚体定轴转动瞬时作用定律： (变角加速度) 进而可由 积分求出 又解：由转动动能定理解。 先求在任意角? 时杆对点O的力矩(重力矩) 由转动动能定理 . L c o x 刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同. L c o hc 又解:用机械能守恒来解。 请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然最后一种用能量守恒是最简单的。 L/2 L/2 hc { 以L/2为势能零点 例 质量为M半径为R的转台可绕通过中心的竖直轴转动，设阻力可忽略不计，质量为m的一人站在台的边缘，人和台原来都静止，如果人沿台的边缘奔跑一周，问相对于地面来说，人和转台各转了多少角度？ 解：如果以人和转台为一系统，该系统未受到外力矩的作用，故角动量守恒。开始时角动量为零，由角动量守恒得 转台的转动惯量MR2/2,人的转动惯量mR2 人相对转台的角速度为 人奔跑一圈所需的时间为 人相对地面绕行的角度为 转台转过的角度 例、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮