12_2数项级数及审敛法.pptVIP

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 1. 定义: 如果级数 ? un ? u1 ? u2 ? u3 ? … ? un ? … , 满足条件 un ? 0 (n ?1, 2, … ), 则称级数为正项级数。 本节研究没有负项的级数。 这一限制的理由是这类级数的部分和 Sn 组成单调增加数列 (因为 Sn ? Sn ?1 ? un 且un ? 0, 所以 S1 ? S2 ? S3 ? … ? Sn ?1 ? Sn ? …), 而单调增加数列有上界就收敛; 否则级数发散。 2. 定理1: 正项级数收敛的充分必要条件是: 它的部分和Sn 数列有界。 根据此定理，可以建立判定正项级数敛散性常用的比较判别法。 一、正项级数及其审敛法 3. 定理2 (比较审敛法): 设 ? un 和 ? vn 都是正项级数, 如果对任意的自然数 n 满足 un ? vn , 则 (1) 当级数 ? vn 收敛时, 级数 ? un 也收敛； (2) 当级数 ? un 发散时, 级数 ? vn 也发散。 证: 设 Sn ? u1 ? u2 ? … ? un ，Wn ? v1 ? v2 ? … ? vn ， 因为 un ? vn ，所以 Sn ? Wn 。 由局部有界性、定理1可知： (1) 如果级数 ? vn收敛，则Wn有界，因此 Sn也有界， 所以级数 ? un收敛； (2) 如果级数 ? un发散，则Sn 无界，因此Wn也无界， 所以级数 ? vn 发散。 例1: 判定调和级数 的敛散性。 解: 以等差级数为分母所得的级数 显然级数 ? vn 发散。所以, 由比较判别法可知调和级数 …… 发散。 另一级数: 在1350年左右, N. Oresme (约1320～1382) 证明了调和级数发散, 这是历史上第一个发散级数的例子, 或许是数学中最著名的发散数列。 它正好勉强发散。 例2: 判定级数 的敛散性。 解: 当 p ? 1时, 。由例1 知 发散, 再根据比较审敛法, 即可断定级数 发散。 当 p 1时，由于对任意自然数n，有 Sn S2n +1 ，且 所以 ，由定理1可知级数收敛。 P —— 级数 例3: 判别下列正项级数的敛散性: (1) (2) 解: (1) 因为当 n 2时， 。由例2知 收敛， 再根据比较审敛法，即可断定级数 收敛。 (2) 我们忽略第一项，而比较其后的项和几何级数 的项。 发现 因此，根据比较审敛法，原级数收敛。 应用比较审敛法关键是要掌握一些常见级数的敛散性。 4. 定理3 (比较审敛法的极限形式): 设级数? un 和 ? vn 都是正项级数, 如果 则 (1) 当 0 l ? ? 时, ? un 与 ? vn有相同的敛散性; (2) 当 l ? 0 时, 若 ? vn 收敛, 则 ? un 收敛; (3) 当 l ? ? ? 时, 若 ? vn 发散, 则 ? un 发散。 证:（略） 例4: 判别级数 的敛散性。 解: 因为 ，且几何级数 收敛， 所以级数 收敛。 5. 定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法): 设? un 是正项级数, 如果 则 (1) 当 ρ 1 时, 级数收敛； (2) 当 ρ 1 时, 级数发散； (3) 当 ρ ? 1 时, 此判别法没有确定的结论。 证：(1) 因为ρ