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四边形期末复习 典例导析 【例1】如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10． （1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（1），求△EFG的面积； （2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（2），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长． 【思路点拨】求△EFG的面积需求得EF和EG的长，而EG=BG，EF的长可在△AEF中利用勾股定理求得；证明四边形BGEF为菱形可先证明BGEF为平行四边形，再证明有一组邻边相等即可。 【简解】（1)．如下图，过点G作GH⊥AD,则GH=AB=8,AH=BG=10,由折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,设BF=x，则AF=8—x，在Rt△AEF中有：x2=（8—x）2+42，解得x=5∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25 (2)．由折叠性质知BG=EG,AB=EH,∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；连结BE，BE．FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE==8，∴BO=4，∴FG=2OG=2=4。 【点评】矩形的折叠是“四边形”中的热点问题之一，折叠问题其实质是轴对称问题，折叠前后的两个图形是全等的，折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，有关线段的计算还常常利用勾股定理，只要把握这一关键点，这类问题便能容易解决。 【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，　∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高． （1）求证:四边形AEFD是平行四边形 （2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式． 【思路点拨】：平行四边形的判定方法较多，关键是如何利用已知条件寻找判定的捷径，由已知F为DC中点，△ABD为等腰三角形，AE⊥BD可知E为BD中点，EF为△DBC的中位线，从而知AD∥EF ，只要证明AE∥DF则问题得证；求y关于x的函数关系式可利用转化方法将四边形转化为两个三角形，再利用三角形面积公式即可求得。 【简解】（1 ∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴，又，∴∴∠DBC=∠ADB=30°，∴∠BDC=90°又AE⊥BD，∴AE∥DC∵AE⊥BD， ∴E是BD的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形． （2）在Rt△AED中， ，，．在Rt△DGC中 ∠C=60°，，∴．由（1）知： 在平行四边形AEFD中，又∵，∴， ∴四边形DEGF的面积，∴ ． 【例3】如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长 BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE绕点D顺时针旋转得到△DAE/， 判断四边形E/BGD是什么特殊四边形？并说明理由． 【思路点拨】（1）可利用“SAS”来证明；（2）是一道结论探索型试题 根据旋转特征可知CE=AE/，由（1）知CG=CE，故CG= AE/，所以DG=E/B，因有一组对边平行且相等，所以E/BGD为平行四边形。 【简解】∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. （2）四边形E′BGD是平行四边形 理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB∥CD，∴BE′＝DG，BE′∥DG，∴四边形E′BGD是平行四边形 【点评】探索型题是指命题中结论，通过观察．归纳．分析．比较得出命题解决此类问题的：直接利用已知条件进行推理得到结论然后再去证明 B． C． D． 5．如图2，四边形ABCD是矩形，F是AD上一点，E是CB延长线上一点，且四边形AECF是等腰梯形．下列结论中不一定正确的是（ ） A．AE=FC B．AD=BC C．∠AEB=∠CFD D．BE=AF 6．将一个多边形剪去一个角（即剪去一个只含有原多边形一个顶点的三角形），得到的新多边形和原多边形相比，其内角和（ ） A．减少180° B．增加180° C．增加360° D．不变 7．如图3，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN．EF分成四个部分，分别种上红．黄．紫．白四种花卉，种植面积依次是，若MN∥AB∥DC，EF∥AD∥BC