[小学教育]塑性成形数值模拟.ppt

三、有限元求解方法 1.直接公式法 2.最小总势能公式法 3.加权余数法 解：1.预处理阶段（1）将问题域离散成有限元的单元首先将问题分解为节点和单元 用5个节点，四个单元的模型代表杆，杆的模型中有四个分段，每分段有一个统一的横截面，每个单元的横截面面积由定义单元的节点处的横截面的平均面积表示  ∴每个单元的弹性行为可以由相应的线性弹簧模型描述，有： 其中： 代入： 对上式取节点位移的变分，则有： 3.负载矩阵 分布载荷： 假如分布力作用在节点i-j-k所在的表面，那末负载矩阵为： 其它面类似 举例：计算实例 图示为一厚度t=1m的均质长方悬臂梁,自由端受均匀力P作用，材料弹性模量为E，泊松比m=1/3，自重不计，试用有限元法求其应力分量 例： 解： １.力学模型的结构离散 　此结构可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷，结构被离散为两个三角形单元，节点编号,单元划分及取坐标如图所示，其各节点的坐标值见表1。 节点 坐标 １ ２ ３ ４ x y ０ ０ 2 ０ 2 １ ０ １ 表1 2.求单元的刚度矩阵 计算单元的节点坐标差及单元面积 　　单元１（i、j、k　　3，1，2） 2.求单元的刚度矩阵 单元2（i、j、k　　1，3，4） 计算各单元的刚度矩阵 单元(1) 代入可得: 对于前面采用的局部编号，两个单元的刚度矩阵是相同的。 3.集成整体刚度矩阵 根据单元局部编号与整体编号的对应关系，两个单元的贡献矩阵分别为： 集成整体刚度矩阵 由分布载荷引起的负载矩阵为： 由集中载荷引起的负载矩阵为： 单元的全部载荷矩阵为分布载荷矩阵与集中载荷矩阵之和，故： 总结：二维应力三角形单元的刚度矩阵为： 其中 ( r = i、j、k；s = i、j、k ) 六 整体刚度矩阵 设弹性体被划分为N个单元和n个节点，对每个单元进行分析计算，便可得到N组单元刚度方程。将这些方程集合起来，就可得到表征整个弹性体的平衡方程。为此，先引入整个弹性体的节点位移列阵 {?}2n×1 ，它是由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成，即 子矩阵 (i =1,2, …, n ) 是节点i的位移分量。 再引入整个弹性体的载荷列阵{F}2n×1 ，它是移置到节点上的等效节点载荷依节点号码从小到大的顺序排列组成，即 子矩阵 (i =1,2, …, n ) 是节点i上的等效节点载荷。 将各单元的节点力列阵{F}e6×1 加以扩充，使之成为2n×1阶列阵 子矩阵 (i, j, k) 是单元节点i上的等效节点力。 省略号处的元素均为零，矩阵号上面的i, j, k 表示在分块矩阵意义下Ri 所占的列的位置。此处假定了i, j, k 的次序也是从小到大排列的、并且与节点号码的排序一致。 各单元的节点力列阵经这样的扩充之后就可以进行相加，把全部单元的节点力列阵叠加在一起，便可得到弹性体的载荷列阵，即 由于相邻单元公共边内力引起的等效节点力，在叠加过程中必然会全部相互抵消，将只剩下载荷所引起的等效节点力。 同样，将六阶方阵的单元刚度矩阵[k]e加以扩充，使之成为2n阶方阵 考虑到[k]e扩充以后，除了对应的i, j, k 双行和双列上的六个子矩阵之外，其余元素均为零，故单元位移列阵{?}e2n×1便可用整体的位移列阵 {?}2n×1 来替代。这样，单元刚度方程可改写为 对N个单元进行求和叠加，得 ——整体刚度矩阵(或简称为总刚) 若写成分块矩阵的形式，则 显然，子矩阵 不必对全部单元求和，只有当[krs ]的下标r = s或者属于同一个单元的节点号码时，[krs]才可能不等于零，否则均为零。 关于节点位移的所有2n个线性方程 [K]{?}={F} ——整体刚度方程 1 2 3 4 2 1 q 考查一个组装总刚的实例： 1. 整体刚度矩阵及载荷列阵的集成 图中有两种编码：一是节点总码：1、2、3、4；二是节点局部码，是每个单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为i，j，k。 图中两个单元的局部码与总码的对应关系为： 单元① ： i，j，k → 1，2，3 单元② ： i，j，k → 3，4，1 单元e的刚度矩阵分块形式为： 1 2 3 4 2 1 q 或： 单元① ： i，j，k → 1，2，3 单元② ： i，j，k → 1，3，4 整体刚度矩阵分块形式为： 总码 局部码 至于整体结构的节点载荷列阵{F}的组集，只需将各单元的等效节点力列阵{F}e扩大成2n行的列阵，然后按各单元的节点位移分量的编号，对应相叠加即