高等数学 第一章 第三节.ppt

函数与极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 1.3.2 函数极限的性质 小结 练 习 题 1.3.3 收敛判别法与两个重要极限 练 习 题 一、填空题: 练习题答案 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 注意: 1、夹逼定理 函数极限的夹逼定理与数列极限的夹逼定理，其证明及用法思路完全一样 2、两个重要极限 (1) 证明： 例2 解 例5题解： 例3 解 左右极限存在且相等, 注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系。 定义 必要性 例如, 例如, 海涅定理可方便的用于说明函数极限的不存在性 性质1.（极限的唯一性） 性质2.（局部有界性） 定理(保号性) 性质3.（极限的局部保号性） 推论 性质4、（极限四则运算法则） 定理 证：4） 考察x→x0的情形 性质5.（极限的不等式） 定理(保序性) 例1 解 小结: 解 例3 (消去零因子法) 解 商的法则不能用 例2 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 意义： 例5 解 1、函数极限的统一定义 (见下表) 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 2、极限的四则运算法则及其推论; 3、极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 4、复合函数的极限运算法则 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. * 1.3 函数极限 1.3.1 函数极限的概念 自变量趋向无穷大时函数的极限 1、定义： 播放 数值实验 通过上面演示实验和数值实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 一般的有 2、几何解释: 时函数f(x)的极限定义的几何意义： 作直线 和 ，则总有一个正数X存在，使得当 x-X或 xX时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间。 例1 证 例：指数函数 数值实验 一般的有 1、定义： 2、几何解释: 注意： 时函数f(x)的极限定义的几何意义： 任意给定一正数 ，不论 多么小，即不论 与 的带形区域多么窄，总可以找到 ,当点 (x，f(x))的横坐标x 进入 时， 纵坐标f(x)全部落入区间 之内。此时， y=f(x)的图形处于带形区域 之内, 越小，带形区域越 狭窄。 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 0 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 定义5： 定义6： 左右极限存在但不相等, 例6 证 例4：研究当 时，f(x)=|x|的极限。 解： f(x)=|x|= 由左、右极限定义 例5：函数 x-1 , 当 x0 0 , 当 x=0 x+1, 当 x0 f(x)= * *