实变期末复习.pptVIP

* * 期末复习 集簇的交 注：当 时，如何？ 例 注：在本书中我们未把0包含在N内,　+∞不在Ｎ中 ( ( ] ) -2 -1-1/n -1 　 0 1-1/n 1 3 对等与势 1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 记作 约定 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... 1,3,5,7,9,11,13,15,... 2,4,6,8,10,12,14,16... n 2n-1 2n 0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,... …,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... 有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。 注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …} 1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, … 例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 　　与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 １可数集的定义 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …} 连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集 欧氏空间中各类点的定义 接触点、聚点 不一定属于E 孤立点一定属于E 点P0的δ邻域： P0为 E的聚点： P0为 E的孤立点： 欧氏空间中各类点的定义 边界点不一定属于E 内点一定属于E P0为 Ec的内点: P0为 E的内点： P0为 E的外点： P0为 E的边界点： 记　 为 E的内部（内点全体） 记 为 E的边界（边界点全体） Rn中的点 （对E来说） 内点 界点 外点 Rn中的点 （对E来说） 聚点 孤立点 外点 定义 设E是Rn中的一个点集，有 E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为 E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为 E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为 称为E的闭包， 记为 Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集 Cantor集的性质 a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集 注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间 b. P的“长度”为0，去掉的区间长度和 c. P没有内点 d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点 e. P的势为 （利用二进制，三进制证明） 开集的性质 a. 空集，Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集； c. 有限个开集之交仍为开集。 注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n), Rn中只有空集和Rn既开又闭， 存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1) A B 闭集的性质 a.空集，Rn为闭集； b.任意多个闭集之交仍为闭集； c.有限个闭集之并仍为闭集。 注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n] 若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集 完备集 稠密集 疏朗集 自密集 Lebesgue外测度(外包) 为E的Lebesgue外测度。 定义： ，称非负广义实数 Lebesgue外测度的性质 （b）单调性： （a）非负性： ， 当E为空集时， 例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 再由ε的任意性知 ( ) 可测集的定义 （Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集， 此时E的外测度称为E的测度，记作 定理1 集合E可测，即 定理 设 是一列互不相交的可测集， 则 也是可测集，且 定理 设 是一列递增的可测集： 令 则 定理 设 是一列递降的