中值定理有难度.docVIP

1.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使： （1）， （2） 解：（1）因为在连续，在可导，且，所以由Rolle定理，， 使得。 （2）因为，且不存在，故不存在一点，使 2．证明： （1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根； 证明：设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。 （2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明：设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。 3．证明：若函数和均在区间上可导，且，，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数） 证：令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即 4．证明：（1）若函数在上可导，且，则 （2）若函数在上可导，且，则 （3）对任意实数，都有 证：因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得 （1）因为，所以，从而有 （2）因为，所以 （3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得 5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1），其中 证：设，则在上连续且可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得 ， 因为， 所以， 从而 （2），其中 证： 设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得 。 因为， 所以， 从而。 6． 以记由, , 三点组成的三角形面积, 试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理. 证： 因为, 若在连续, 在可导, 则易见也在连续, 在可导, 且. 故由罗尔定理知, 存在, 使得. 而 , 故. 7. 证明：设f(x)为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根。则方程至少有一个实根。 证明：设方程的n+1个相异实根为对在每个区间上应用罗尔中值定理知，存在至少有n个相异实根。再对在n-1个区间上应用罗尔中值定理，存在至少有n-1个相异实根。 重复以上做法知，至少有n-2个相异实根，…至少有1个实根。 8．设函数在上可导，证明：存在，使得 证：设， 则在上连续并可导， 且， 由Rolle定理，存在，使得， 从而 9．设。证明存在，使得 证：设，，则都在连续，在可导， 且都不等于0，。 由柯西中值定理，存在， 使得， 即 10. 设函数在点a的某邻域具有二阶导数。证明：它对充分小h的，存在，使得 证明：由于欲证等式中，以-h代替h两边的值都不变，故只须证明h0时成立。 设当h充分小时，F（x）和G（x）在[0，h]上连续，（0，h）内可导，由柯西中值定理知 其中 再对上应用拉格朗日中值定理，得 其中 取且 11证明：若在内可导，且 则 证 作辅助函数应Cauchy中值定理. ,由Cauchy中值定理有（显然）或 或 因 即 于是，.即 12 设在上有二阶导数试证 使得 证 令 则在上二阶可导，且对在上分别应用Rolle定理，使对由于在上可导，再用Rolle定理，使得而 令即得所求证的等式。 13 试证 （提示：令在上满足Cauchy中值定理条件。从而可证） ) 1 , 0 [ ?