矩阵第四章矩阵函数及其应用-2.docVIP

§5 矩阵函数 一、矩阵函数的幂级数定义 定义1 对于方阵，若复变函数的幂级数表示式为 ，， 则当时，定义矩阵函数 。 如可以定义如下的矩阵函数： ， ， ， ， ， 。 二、矩阵函数的计算 两种方法：利用的Jordan标准形；利用矩阵函数的多项式表示。 定理4－9 若对于任一方阵，幂级数都收敛，其和为，则当为对角分块矩阵时，有。 证明思路：收敛幂级数的和等于前项和序列的极限。 证明 因为 定理4－10 设，。是相对于特征值的阶Jordan块，则当时，绝对收敛，且 。 证明：（1）说明时，绝对收敛。 （2）证明 。 由，其中 ， 则 （3） 。 推论1 设，。设，。是的Jordan标准形，，，则 。 推论2 若的特征值为，则的特征值为。 例4－3 设，求，，。 解 特征多项式为 求得有不同的特征值，。所以相似于对角形，求得 ，， 故 例4－4 设，求。 解 ， 因此 例 已知，求的Jordan表示，并计算和。 解：，，。 且，故 。 于是 ，。 注：当函数带有参数时，如， 。 如在上例中，。 三、矩阵的多项式表示 定理3 设的，为的个互异特征值，的最小多项式为次多项式 。 假设与收敛的幂级数相应的矩阵幂级数收敛，则矩阵函数可以表示成的次多项式 ， 而多项式的系数是下列方程组的解： 。 注：对于，结论类似成立。 例4－5 设，求。 解 的最小多项式为，设，则 解之得，，于是 注：在求时，只是取即可。 例4－6 计算，，其中 。 解：最小多项式为。设。则 解得，， 。所以 。 §6矩阵的微分与积分 一、矩阵的导数 定义 若的每个元素都是复变量的函数，且都在或变量的某个区域内可导，则定义的导数为： 或 例如 ， 性质： （1）； （2） 特别地，当为常数矩阵时，有 （3）如及变量的函数都可导，则 （4）若阶函数矩阵可逆，且及其逆矩阵都可导，则 证明 因 两边对求导，即有 所以 二、矩阵的积分 定义 若函数矩阵的每个元素都是实函数的函数，且都在上可积，则的定积分与不定积分定义如下： 性质： （1）； （2）（为非零实数） （3）（为非零常数矩阵） （4） §7 常用矩阵函数的性质 设， （2）当时， （3）若，则 （4），（） ， （5）若，有 ； ； 。 （6）；； ， §8 矩阵函数在微分方程组中的应用 形如 （2.1） 的线性微分方程组可以表示成 （2.2） 其中 （2.3） ，。 定理 当为阶常数矩阵时，方程 ， （2.4） 的解为。 定理 当为阶常数矩阵时，方程 ， （2.5） 的解为。 例4-7 求微分方程组的解 ，。 解：的特征值为。所以可以相似于对角形。相似变换矩阵为 。 。 例4－8 求微分方程的Cauchy问题的解。 ，，。 解： 。 §9 线性系统的能控性与能观测性 设系统为 其中均为常数矩阵，系数矩阵是矩阵，输入矩阵是的，输出矩阵是的，又矩阵是的。状态向量是维列向量，输入向量与输出向量分别是维、维列向量。这个系统简称为系统。 定义4－6 对于一个线性定常系统，若在某个有限时间区内存在着输入（），能使系统从任意初始状态转移到，则称此状态是能控的；若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是完全能控的。 定理4－13 系统完全能控的充要条件是阶对称矩阵 4－16 为非奇异矩阵。 证明 充分性。设非奇异。 4－17 令 ， 4－18 把代入式4－17得 这说明在式4－18所示的控制输入作用下，能使系统从转移到。 必要性。用反证法。若系统是完全能控的，但是奇异的，则将引出矛盾。 因是奇异的，则必有非零向量，使得 即 故对任意时刻，有 （） 4－19 现系统是完全能控的，故由前面已证明的充分性，必存在某个，使其作用于系统上，使得，故由式4－17得 上式两边左乘以，并考虑到式4－19，便有 由于为任意的，现选，则由上式得。这与是非零向量相矛盾，故是非奇异的。 定理4－14 系统完全能控的充要条件是矩阵 的秩为。称为能控性矩阵。 证明 充分性。用反证法，如果系统不是完全能控的，则由定理4－13知矩阵是奇异的，故由式4－19两边求次微商可得 （） 令得 （） 而在式4－19中