[2018年必威体育精装版整理]10_分离变量法.ppt

第十章 分离变量法 由此立即可得（10）. 补充：连带Legendre函数 在球坐标系下对Laplace方程进行分离变量时，会得到连带Legendre方程 （1） 特别地，当m=0时，即得Legendre方程 （2） 关于连带Legendre方程（1）,我们仍可以利用第五章介绍的级数解法求解,但过程比较复杂.这里介绍一种比较简便的方法,从Legendre方程出发来寻求其解，其中设m为正整数. 解：利用关于乘积求导的Leibniz(莱布尼茨)公式 §10.2 极坐标系下的分离变量法 前面主要讨论了直角坐标系下的分离变量，下面介绍平面极坐标系下的分离变量。 一、Laplace方程的定解问题 例1 带电云和大地之间的静电场可以近似看作匀强静电场，其电场强度为 且方向垂直向下.现水平架设一根输电线于该静电场中.输电线为导体圆柱，柱面由于静电感应而出现感应电荷，这样，圆柱附近的电场就不再是匀强的了，如图10.2.1所示.不过在离圆柱“无限远”处的静电场仍近似保持匀强.现在研究导体圆柱如何改变了匀强静电场，即柱外的电势分布如何. 分析: 图10.2.1 对于柱外的静电场，由于柱外空间没有电荷，所以电势 满足二维的Laplace方程 （柱外） （1） 由于导体内的电荷不再移动，所以导体内各处电势相同，而电势只具有相对的意义，因此不妨取导体的电势为零，从而有边界条件 （2） 另外，在离导体无限远处的静电场中，场强仍近似保持匀强 对上式两端积分，得 （3） 这样，所求解的定解问题为 （4） 由于泛定方程和内边界都是齐次的，不妨尝试用直角坐 标下的分离变量法求解： 将变量分离形式的 代入Laplace方程，很容易分离出两个常微分方程 或者 因此采用直角坐标下的分离变量法是行不通的.事实上，由于静电场的内边界是一个圆，我们自然应该采用平面极坐标系. 解：首先，将定解问题（4）转化为极坐标形式 下面尝试利用极坐标系下分离变量法求解该定解问题. 将变量分离形式的试探解 代入齐次泛定方程（5），得 这样，就分离出了两个常微分方程 其中常微分方程（8）隐含着一个附加条件.事实上，电势u在任一确定地点总是有唯一的确定值，而任一确定地点的极角可以加减的 整数倍，所以 即 所以 （10） 我们称（10）式为自然周期条件.常微分方程（8）与自然周期条件（10）构成本征值问题. 下面求解该本征值问题. 常微分方程（8）的通解为 （11） 代入自然的周期条件（10），得 本征值 （12） 本征函数 （13） 接下来，将本征值（12）代入常微分方程（9），得 （14） 则方程（14）化为 （14）为Euler型常微分方程，作变量代换 即 （15） 其解为 （16） 这样，变量分离形式的特解为 （17） （18） 将所有特解叠加起来，即得原定解问题的一般解 （19） 为了确定叠加系数，将（19）先代入齐次边界条件（6）， 得 比较两端系数，得 从而， （20） 然后讨论非齐次边界条件（7）. 比较两端系数，有 （21） 从而 （22） 将以上系数代入一般解，得柱外静电场的电势为 （23） 物理意义. 二、圆形域内（外）Poisson方程的定解问题 由于二维Poisson方程 是非齐次的，显然不能直接用分离变量法求解. 又因为Poisson方程与时间无关，所以也不适用冲量定理法. 下面我们采用特解法 首先找到Poisson方程的一个特解 ,然后令 ,从而 例2 解：首先找出Poisson方程的一个特解 ,在圆形域内 为了保持x,y相互对称，不妨取 （1） 然后，令 则 （2） 仿照例1的求解过程，得（2）的一般解 （3） 于是 （4） 将上式代入（2）中的边界条件，得 比较两端系数，有 （5） 因此， （6） 所以原定解问题的解为 三、Sturm-Liouville（斯图姆－刘维尔）本征值问题 前面在直角坐标以及极坐标系下利用分离变量法求解定解问题时，曾经得到了一些本征值问题。例如： （1） 的本征值和本征函数分别为 （2） 的本征值和本征函数分别为 在第五章我们也曾提到过：Legendre方程与自然边界条件也构成本征值问题 （3） 它的本征值和本征函数分别为 这些常见的本征值问题都可以归结为Sturm-Liouville本征值问题，本节就来讨论具有普遍意义的Sturm-Liouville本征值问题. 1. Sturm-Liouville型方程 定义1 通常把形如 （4） 的二阶线性常微分方程称为Sturm-Liou