[2018年必威体育精装版整理]-共轭元正规子群.pptVIP

2. 类 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类． 即，群G中的任何一个类 C 都满足 （ 1 . 3 - 5 ） 例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1. D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类. C3V群分成几类？ 类的简单性质 ( l ) 单位元自成一类． ( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的， 即不同的类中没有共同的元． ( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切 X∈G 都有 XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G ( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即： 如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。 证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E 所以，A与XAX-1有相同的阶． ( 7 ) 对于含转动操作的群, 转角相同而转轴可由群中 的元转成一致的，属同一类． 例如在D3 群中， A、B、C 同属一类，因为 DCD-1 = A FBF-1 = A 也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致． ( 8 ) 若 C 是群 G 的一个类，且 C = { C1, C2，…， Cm}，C’是 C 中所有元的逆的集合，即C’ = {C1-1, C2-1，…，Cm-1}．那么， C’也是群 G 的一个类，称 作 C 的逆类． 证明：己知 XCX-1 = C 对任一X ∈G 成立，那么 XC’X-1 =(XCX-1)-1= C-1 = C’ 对任一 X∈G 成立. 所以， C ’是群 G 的类. ( 9 ) 互逆类乘积的集合中一定有单位元出现，且出现 的次数等于类的群元数 h c（有时称 h c为类的阶） 定理二 两个类的类乘有 （ 1 . 3 -6 ） 式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次． 证明：由式XCX-1 = C 得 XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj 所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1 对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式. 例：D3群中，六个元共分三类，可表为 C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F} 于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3; 定理三 有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整 数成立，即 hC 是 g 的整数因子． 证明：分三步来证明这个定理． 第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取