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§1.3 映 射 定义1.3.1 映 射(mapping) 设A，B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之对应，则称此对应为由A到B内的一个映射。 将此映射记为?，于是对任意a?A，?(a)= b表示B中与a对应之元素，称为a的映象(image)，a称为b的原象(pre-image) 。集合A称为映射?的定义域(domain) 。 ?(A)={b | ?(a)=b，a?A}，称为?的值域(range)，或象的集合。 例： 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d}, ?：A ? B的映射 定义1.3.2 满射(surjection) 设?是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映象，就称?是A到B上的映射（满射）。特别，A到A上的映射，称为变换。 例： 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d}, ? ：A ? B的映射(满射) 定义1.3.3 单射(injection) 设?是A到B内的映射，如果对任意a?A，b?A且a?b，都有?(a) ? ?(b)，就称?是A到B的单射。 例： 设A={1,2,3},B={a,b,c,d}, ? ：A ? B的映射(单射) 集合A上的一个二元关系R就可看做是如下一个从集合A?A到集合?是，非?上的映射? ；对任意a1，a2(都属于A)。 ?((a1,a2))＝是，当且仅当(a1,a2)?R。 定义1.3.4 1-1映射 设?是集合A到集合B内的映射。如果?既是A到B的满射，又是A到B的单射，则称?为A到B的1-1映射(one-to-one correspond-ence),或双射(bijection)。 例： 设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}, ? ：A ? B的映射(1-1映射) 逆映射(inverse mapping) 若?是集合A到集合B的1–1映射，则对于B中每个元素b都对应着A中以b为映象（在?下）的那个元素，这个对应显然是集合B到A上的映射，我们称这个映射为?的逆映射，记为? -1 。显然， ? -1也是1-1映射，并且对任意a?Ａ，都有 ? -1 (?(a))＝a 定义1.3.5　映射的乘积 设?是集合Ａ到集合Ｂ内的映射， ?是集合Ｂ到集合Ｃ内的映射，对任意a?A，规定 (? ? ?)(a)＝? ( ?(a))显然? ? ?是集合Ａ到集合Ｃ内的映射，我们称此映射为映射?与映射?的乘积。 不难证明：映射的乘积满足结合律，但是不满足交换律。 例： 设A={1,2,3,4},B={a,b,c,d}, ?：A ? B (1-1映射) §1.3.1 集合的基数 §1.3.1 集合的基数 我们把相当于有限集合的元素数的概念推广到一般集合，称之为集合的基数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|。 定义1.3.6 设A，B为集合，若A与B之间存在1-1映射，则称A与B基数相同，也称A与B对等（等势，等浓），记为|A|=|B|。 例如，自然数集合N与正偶数集合B对等，N到B的一个1-1映射为?(n)=2n。 再如，区间集合A=(0, 1)与B=(0, +?)等浓，A到B的一个1-1映射为?(x)=tg(x) 显然，集合A为有限集当且仅当它以某一非负整数为其基数，即存在一非负整数n使得?A?=n。即集合A的元素个数是n。我们把与自然数集合的基数记为?0（读作阿列夫零），于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=? 0。 容易验证集合的对等关系是一个等价关系。 我们可以用对等关系重新来刻画什么是集合的基数：集合按照对等关系分成等价类，每个等价类的共同的数量特征，称为该等价类中集合的基数。 定义1.3.7 设A，B是任意两个集合。(1)称A的基数小于等于B的基数，记为?A?? ?B?，如果有A到B单射σ或有B到A满射σ。(2)?称A的基数小于B的基数，记为?A???B?，如果?A???B?且?A???B?。 换句话说，若A与B的某一子集有1-1对应关系，则?A???B?；若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则?A???B?。 定理1.3.1 若存在A的子集A?和B的子集B?，使得|A|=|B?|且|B|=|A?|，则|A|=|B|。即若|A|≤|B|且|B|≤|A|，则|A|=|B|。 基数的三歧性定理 对任意集合A，B，或者|A|?|B|，或者|A|＝|B|，或者|B|?|A|，且不能有两个式子同时成立。 §1.3.2 可数集合 定义1.3.8 一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1-1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。 元素个数不是有限的可数集合称