张的量概念及其基本运算.pdfVIP

2016/9/13 张量概念 • 标量：不依赖于坐标系，只有大小没有方 向的物理量。如物体的质量、密度、体积 及动能、应变能等。 • 张量： 向量的推广。在一个坐标系下， 它是由若干个数 (称为分量)来表示，而在 不同坐标系下的分量之间应满足一定的变 换规则，如矩阵、多变量线性形式等。一 些物理量如弹性体的应力、应变以及运动 物体的动量等都需用张量来表示。 张量的阶 • 一阶张量：由3个独立的量组成的集合称为 一阶张量，又称为矢量或向量，即既有大 小又有方向的物理量，如空间中某点的几 何位置和位移。 • 二阶张量：由9个独立的物理量组成的集合， 如空间中某点的应力、应变等 n • n阶张量：由3 个分量组成的集合 1 2016/9/13 张量的阶 ◆ 现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。 当n=0时，零阶张量，M = 1，标量； 当n=1时，一阶张量，M = 3，矢量； 、 、 、 n 当取n时，n阶张量，M = 3 。 张量的表示(下标记法) • 点的坐标：(x,y,z) →x (i=1,2,3) i • 应力张量：     11 12 13         i 1,2,3; j 1,2,3  21 22 23  ij      31 32 33  a i 1, 2, 3; i 1, 2, 3;i 1, 2, 3 • n阶张量可以表示为： i i i 1 2 n 1 2 n n阶张量的下标有n个。 2 2016/9/13 Einstein求和约定 • 求和约定：在用下标记号法表示张量的某 一项时，如有两个下标相同，则表示对此 下标从1-3求和,而重复出现的下标称为求 和标号（哑标），不重复出现的下标称为 自由标号,可取从1至3的任意值 3 a b a b a b  a b  a b i i i i 1 1 2 2 3 3 i 1 3 a b a b a b  a b  a b ij j ij j i 1 1 i 2 2 i 3 3