[经济学]考研数学——差分方程及其应用.docVIP

附录：差分方程及其应用 一、 差分的概念 定义1 设函数 称改变量为函数的差分, 也称为函数的一阶差分, 记为, 即 或 . 一阶差分的差分称为二阶差分, 即 类似可定义三阶差分, 四阶差分,…… 例1 设，求，。 解 。 。 二、差分方程的概念 定义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程. 差分方程的一般形式： 或 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解. 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解. 定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程. 线性差分方程的一般形式是 其特点是都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为： （1） 其中, P为非零常数, 为已知函数. 如果则方程变为： 称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程. 四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法 一阶常系数线性差分方程的一般形式为：， （2） 其中常数，为的已知函数，当不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当时，差分方程： （3） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。 下面给出差分方程的迭代解法。 1、求齐次差分方程的通解 把方程（3）写作，假设在初始时刻，即时，函数取任意常数。分别以代入上式，得 最后一式就是齐次差分方程（3）的通解。特别地，当时，齐次差分方程（3）的通解为：，。 2、求非齐次线性差分方程的通解 1、设为常数 此时，非齐次差分方程（2）可写作：。 分别以代入上式，得 。 （4） 若，则由（4）式用等比级数求和公式，得 ，， 或 ，， 其中为任意常数。 若，则由（4）式，得：，，其中为任意常数。 综上讨论，差分方程的通解为： （5） 上述通解的表达式是两项之和，其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次差分方程（2）的一个特解。 这里，当时，由上式所确定的解序列的特性作两点说明： 例2 求解差分方程。 解：由于，，。由通解公式（5），差分方程的通解为 ，（为任意常数）。 2、为一般情况 此时，非齐次差分方程可写作：。 分别以代入上式，得 （6） 其中是任意常数。（6）式就是非齐次差分方程（2）的通解。其中第一项是齐次差分方程（3）的通解，第二项是非齐次线性差分方程（2）的一个特解。 例3 求差分方程的通解。 解 由于，。由通解式（2-5）得非齐次线性差分方程的特解 ， 于是，所求通解为 。 其中为任意常数。 例4 求差分方程的通解。 解：特征方程为，特征根。齐次差分方程的通解为：。 由于，是特征根。因此非齐次差分方程的特解为 。 将其代入已知差分方程得 ， 比较该方程的两端关于的同次幂的系数，可解得，。故。 于是，所求通解为 ，（为任意常数）。 五、差分方程在经济学中的应用——筹措教育经费模型 某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。 设第个月投资帐户资金为元，每月存入资金为元。于是，20年后关于的差分方程模型为： ，并且。 解上式得通解 ， 以及 从而有 。 从现在到20年内，满足的差分方程为：， 且。 解之得通解，， 以及 从而有 。 即要达到投资目标，20年内要筹措资金90 073.45元，平均每月要存入银行194.95元。