高考数学一轮题组训练：8-6《双曲线》（人教版）.docVIP

第6讲　双曲线 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．(2014·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于 (　　)． A．4 B．8 C．24 D．48 解析　由可解得 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形， 则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24. 答案　C 2．(2013·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的 (　　)． A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析　∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C1：－＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：－＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为. 答案　D 3．(2014·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 (　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1. 答案　A 4．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是 (　　)． A．m＞ B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 解析　在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，则c＝，离心率e＝＝＞，解得m＞1. 答案　C 5．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为 (　　)． A. B. C. D. 解析　不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝. 答案　A 二、填空题 6．(2014·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________． 解析　由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝. 答案　 7．(2014·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析　由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0. 答案　2x±3y＝0 8．(2014·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________. 解析　因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 答案　5 三、解答题 9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 解　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5. 设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)， ∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴双曲线G的方程为－＝1. 10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n， 则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. (2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1．(2014·焦作二模)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于 (　　)． A.＋ B.＋1 C.＋1 D．2 解