线性代数 线性相关性1.pptVIP

向量组的线性相关性1 主要内容： 一、向量组线性相关/无关的定义 二、向量组线性相关/无关的判定定理 向量组的线性相关性 定义:给定向量组A:a1 ,a2 , … ,am ,如果存在不全为零的数k1 ,k2 , … ,km ,使 k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0 则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关. 向量组的线性相关性 说明:只含一个向量a的向量组, 当a=0时是线性相关的,当a≠0时是线性无关的. 说明:包含零向量的向量组是线性相关的. 向量组的线性相关性 解设数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0, 则 向量组 a1 ,a2 , a3线性相关. 向量组的线性相关性 说明:向量组a1 ,a2 , … ,am (当m≥2时)线性相关的充分必要条件是a1 ,a2 , … ,am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示. 说明:向量组A:a1 ,a2 , … ,am 构成矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am ),向量组A是线性相关,就是齐次线性方程组 x1a1 + x2a2 + … + xmam = 0,即AX=O 有非零解. 向量组的线性相关性 证法一 设数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1 b1 + k2 b2 + k3 b3 = 0, 则k1 (a1 +a2 ) + k2 (a2 +a3 ) + k3 (a3 + a1 ) = 0, 即 (k1 + k3) a1 + (k1 + k2 ) a2 + (k2 + k3 ) a3 = 0, 由于向量组a1 ,a2 ,a3线性无关,有 向量组b1 ,b2 , b3线性无关. 向量组的线性相关性 记作B=AK. 设Bx=O,以B=AK代入得A(Kx)=O .因为矩阵A的列向量组线性无关,所以可推知Kx=O . 又因|K|=2≠0 ,知方程Kx=O只有零解x=O .所以矩阵B的列向量组b1 ,b2 , b3线性无关. 向量组的线性相关性 记作B=AK. 因|K|=2≠0 ,知K可逆,有R(A)= R(B),由矩阵A的列向量组线性无关可知:矩阵B的列向量组b1 ,b2 , b3线性无关. 向量组的线性相关性 定理 (1)若向量组A:a1 ,a2 , … ,am 线性相关,则向量组B:a1 ,a2 , … ,am , am+1也线性相关.反言之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关. 向量组的线性相关性 向量组的线性相关性 例 向量组的线性相关性 定理 (2) m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关.特别地,n+1个n维向量一定线性相关. 向量组的线性相关性 例 4个3维向量线性相关, 5个3维向量线性相关. 向量组的线性相关性 定理 (3) 设向量组A:a1 ,a2 , … ,am 线性无关,而向量组B:a1 ,a2 , … ,am , b线性相关,则向量b必能由向量组A 线性表示,且表示式是唯一的. 向量组的线性相关性 例 向量组的线性相关性 总结 1.线性相关与线性无关的概念； 2.线性相关与线性无关的判定方法：定义及定理． * * 例 例 例判别向量组 的线性相关性. 例 已知向量组a1 ,a2 ,a3线性无关, b1 = a1 +a2 , b2 = a2 +a3 , b3 = a3 + a1 ,试证向量组 b1 ,b2 , b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 证法三 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例