线性代数 第五章 5-2 南大.pptVIP

第二节 相似矩阵 一、相似矩阵的定义及性质 二、矩阵可对角化的条件（重点) 一、相似矩阵的定义及性质 定义: 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得 则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵， 对 进行运算 称为对 进行相似变换， 可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。 或称矩阵 与矩阵 相似， 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： （2）对称性：若 则 （3）传递性：若 则 性质 (1) A与B相似, 则R(A)=R(B); (2) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值; (3) A与B相似, 则 ; (4) A与B相似, 则 ; (5) A与B相似, 则 与 相似; 其中 (6) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。 (2) 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 推论：若矩阵 与对角阵 相似， 则 是 的 个特征值。 证明： 注：若A与对角阵相似，则称A可对角化。 例1 (1) 与 相似， 求x与y和A的特征值。 (2) 与 相似， 求a与b。 解 (1) A的特征值等于B的特征值为： (2) 解： a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 |4E-A|=0 |2E-A|=0 例2 二、矩阵的对角化的问题（通过相似变化将矩阵对角化） 这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。 定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。 定理 即设 是矩阵A的不同的特征值， 又设 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 对应的无关特征向量为 则 仍是线性无关的。 n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。 推论 (逆命题不成立) 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解: 得 例2 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 当 时，齐次线性方程组为