线性代数同济大学第五版5-5.pptVIP

* 上页 下页 返回 问题的提出 主要内容 二次型的概念 主要结论 第 五 节 二次型及其标准形 合同矩阵 举例 在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换 ax2 + bxy + cy2 = 1 (1) 一、问题的提出 于是 (2) 式可写成 二、二次型的概念 定义 8 称 n 个变量的二次齐次式 f(x1 , x2 , ··· , xn ) = a11x12 + a22x22 + ··· + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ··· + 2an-1,nxn-1xn (2) 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , f(x1 , x2 , ··· , xn) = a11x12 + a12x1x2 + ··· + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ··· + a2nx2xn + ··· + an1 xnx1 + an2xnx2 + ··· + annxn2 若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ··· , xn)T , 则 关系. (2) 式所表示的二次型可以表示成 其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩 阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样, 实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的 例 22 已知二次型 写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩. 显然，二次型的秩为 解 设 f = xTAx , 则 例 23 已知二次型 写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩. 解 设 f = xTAx, 则 的标准形中所含的项数即为该二次型的秩. 定义 如果一个二次型只含变量的平方项， 则称这个二次型为标准形(或法式) . 对于二次型，我们讨论的主要问题是， 寻求 可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形. 二次型的秩的意义： 一个二次型 如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形. 三、合同矩阵 1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，若 A 为对称矩阵， 则 B = CTAC 亦为对称矩阵，且 R(B) = R(A). 此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变. 就是要使 要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 使 CTAC 为对角矩阵. 也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主 要问题就是， 对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C, 由上节定理7知, 结论应用于二次型, 即有 正交矩阵 P , 使 P-1AP = ?, 即 PTAP = ? . 把此 任给实对称矩阵A , 总有 四、主要结论 定理 8 任给二次型 总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形 其中?1 , ?2 , ··· , ?n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值. f = ?1y12 + ?2 y22 + ··· + ?nyn2 , 推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A), 总有可逆变换 x = Cz，使 f(Cz) 为规范形. 例 22 用正交变换化下列二次型为标准形: 五、举例 二次型 f 的矩阵 A 为 解 所以 A 的特征值为 A 为特征多项式为