线性代数 练习系统.pptVIP

前言 这套“线性代数”辅助学习系统（以下简称系统）是与所用教材相配套的，主要面向使用该教材的学生。本系统按照中国人民大学出版的《线性代数》的章节顺序编排，以便与教学需求同步，方便学生使用。每章包括以下内容：1）教学基本要求：主要根据教育部对经济类线性代数课程的基本要求确定，并结合我校特点做了一些改动。2）重点与难点：归纳教学内容的重点与难点。 第一章 行列式 一、教学要求与内容：了解排列、逆序、对调的概念；了解n阶行列式的定义与性质，熟练掌握计算二、三阶行列式的方法，会利用行列式的性质与行列式按行、列展开的法则计算简单的n阶行列式；掌握克莱姆法则的应用，能用该法则计算二、三元线性方程组。 二、重点：两种特殊的行列式：上（下）三角行列式、对角行列式；二、三阶行列式及n阶行列式的计算 三、难点：n阶行列式的定义，元素中含有字母的行列式的计算四、学习要点与能力目标：1）n阶行列式的本质是对n2个数定义了一种运算，其结果是一个数。由克莱姆法则知，方程组的系数行列式是否为零反映了方程组解的不同情形，这是因为行列式的值是否为零取决于行列式中行与行（或列与列）之间两种不同的情况，即后面要讨论的线性相关、线性无关。因而行列式的概念与计算是后面要介绍的矩阵、方程组及n维向量的基础之一。 2）对于行列式性质的证明只须了解它的思路，关键是利用这些性质简化行列式的计算，因此要求熟记行列式的性质和展开法则，并弄清含义及功能。行列式的计算常常因题而异。对于行列式计算的技巧，不要求做过多的探求。3）克莱姆法则是线性方程组理论中的一个重要结论，它的意义在于给出了方程组的解与系数、常数项之间的关系。但克莱姆法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的方程组，且要求系数行列式不为零。因而克莱姆法则主要用于理论研究及简单方程组求解。 能力目标：引导学生在计算行列式之前，要首先仔细观察所论行列式，发现其结构上的特点，并能够选择简便方法。培养学生养成在解题中充分利用已有的信息的习惯，以及把知识转化为能力的训练。 （一)书后习题（部分） 12）用行列式性质计算行列式： ③ 15）④用行列式的性质证明：   （二)练习题 一般难度 1)若 是四阶行列式 中前面冠以负号的项,那么 i 与 k 分别等于什么?若是前面冠以正号的项,那么 i 与 k 分别等于什么? 2)利用行列式的定义计算4阶行列式: 解：给出的4阶行列式表示4！=24项的代数和，在这些项中除了 外，其他的项至少有一个0元素，因而那些项都是0.在上列4项中, 是偶排列,这两项前面是正号,而 是奇排列这两项前面是负号,于是有 3)已知 = 1, 求x=? 解: 只有一个非零项,即－3×2×x×4= －24 x,因而－24 x =1所以x =－1/24. 4)证明 5)解方程 6)利用行列式的性质证明下行列式能被13整除： 2)证明n阶行列式 证明(方法一)：用数学归纳法 当n=2时 将第一个行列式的第一列×(－b)加到第二列,新的第二列×(－b)加到第三列,…, 新的第n － 1列×(－b)加到第n列,于是 (方法二)先按第一行展开, 3)计算n阶行列式 在前题计算过程中的第二个行列式称为箭形行列式，它的特点是：主对角线上、第一行、第一列上的元素非零，其余元素均为零，成| |形状，在计算箭形行列式时，要利用对角线上的元的某倍加到某个边上，将其化为三角行列式,从而找到最后结果，这个方法称做箭形法. 4) 5)下列行列式中不恒等于0的是： 6）计算n阶行列式： 解法一：所给行列式各行的和均一样，将各列加到第一列上，再提取第一列的公因子，得， 解法二：将第一行的－1倍加到各行上去，得一箭形行列式： 解法三：用加边法（添加一行一列）构造与原行列式相等的n+1阶行列式 解法二:所给的行列式为n阶行列式,它的展式是x的n－1次多项式,因此给定的方程是一元n－1次方程.可以看出当x依次等于0,1,2,…n －2时,行列式的第一行(列)分别与第二,三,…n行(列)相同,因而行列式等于0,而方程最多有n －1个实根,因此,x= 0,1,2,…n －2恰好是方程的n －1个实根. 解: 8）若齐次线性方程组有非零解，求k的值