线性代数 矩阵运算和行列式.pptVIP

第二章 矩阵运算和行列式 定理2.5. |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + … + ain Ain, i=1,2, …, n. §2.3 行列式的性质及计算 |A| = a1j A1j + a2j A2j + … + anj Anj, j=1,2, …,n. 证明： (1) 第二章 矩阵运算和行列式 定理2.5. |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + … + ain Ain, i=1,…, n. §2.3 行列式的性质及计算 证明： (2) 第二章 矩阵运算和行列式 定理2.5. |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + … + ain Ain, i=1,…, n. §2.3 行列式的性质及计算 证明： (3) 第二章 矩阵运算和行列式 §2.3 行列式的性质及计算 例2. 1 2 ?4 ?2 2 1 ?3 4 ?2 1 2 ?4 0 6 ?7 0 10 ?14 = ?14. 5. 行列式按行(列)展开 例6. = ?2. 注：先把行列式化简成某行(列)只有一个 非零元素；再按此行(列)展开计算. 第二章 矩阵运算和行列式 §2.3 行列式的性质及计算 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a31A31 + a32A32 + a33A33. 下面来看a11A31 + a12A32 + a13A33 = a11A31 + a12A32 + a13A33 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 = 0. 推广到一般情形, 我们有如下结论: 命题2.1. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + … + ain Ajn = 0 (i ? j) a1i A1j + a2i A2j + … + ani Anj = 0 (i ? j). A31, A32, A33与a31, a32, a33的取值无关 0 ? 第二章 矩阵运算和行列式 §2.3 行列式的性质及计算 命题2.1. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + … + ain Ajn = 0 (i ? j) a1i A1j + a2i A2j + … + ani Anj = 0 (i ? j). 定理2.6. ? aik Ajk = D?ij , k=1 n ? aki Akj = D?ij . k=1 n |A’| = a1i A1j + a2i A2j + … + ani Anj = a’1j A1j + a’2j A2j + … + a’nj Anj 证明： ?ij = 1, i = j 0, i ? j = 0 第二章 矩阵运算和行列式 §2.3 行列式的性质及计算 定理2.6. ? aik Ajk = D?ij , k=1 n ? aki Akj = D?ij . k=1 n 例7. 2A21 + 4A22 ? 8A23 = 1 2 ?4 ?2 2 1 ?3 4 ?2 1 2 ?4 ?3 4 ?2 2 4 ?8 = 0 M13 ? M23 ? 3M33 = A13 + A23 ? 3A33 1 2 ?2 2 ?3 4 = 1 1 ?3 1 2 ?2 2 ?3 4 0 3 0 = ?30 二. 行列式的主要计算方法 §2.3 行列式的性质及计算 一. 行列式的性质 1. 化为三角形行列式 |AT| = |A|. 3. 行列式按行(列)展开 2. 箭形行列式的计算 4. 提公因子法 5. 降阶递推法 ? aik Ajk = D?ij , k=1 n Ajk = (?1)j+k Mjk 计算三四阶行列式 6. 分解行列法 第二章 矩阵运算和行列式 §2.3 行列式的性质及计算 例8. 证明n阶 (n?2)范德蒙 行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n-2 a2n-2 … ann-2 a1n-1 a2n-1 … ann-1 =