第一节预备知识上极限和下极限　.pptVIP

;§9.1　预备知识：上级限和下级限;对于一个有界数列　　去掉它的最初　项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为　，下确界为　，亦即 可见　 ．令　 ，于是得到一列　 和一列　 ．显然数列　 是单调减少的， 是单调增加的,所以这两个数列的极限都存在．我们称　 的极限是　的上级限，设它是　． 的极限是 的下极限, 设它是 .并分别将上极限和下极限记为　 ．也就是 ;如果数列　 无上界，我们就说　 ，如果数列　 无下界，就说　 　　;下面给上极限和下极限的重要性质． 　　定理１　设　 ，则 　　（i）当　为有限时，对于　 的任何　领 域　 ，在数列　 中有无穷多个项属于这个领域，而在　 中最多只有限多个项（包括一项也没有）;　证明　（i）当　 时，假设存在某一正数　 ，使得在　 中有有限多个项大于　 ，那么必存在　，当　 时，一切　 皆有　 ．于是上确界 因此　　 这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何　 ，在　中必有无穷多个项大于 　;　　 ;(ii) 当 　　　时,数列　　无上界,由此便获得所要的 结论. 　　 (iii)当 　　　时,对任何 　　　,存在 　,当 　　时 这表明　　的极限为 　. ; 定理2 设 　 　,则 (i)当 为有限时,对 的任何 邻域　　　　　　　，在数列　　中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于 　　(包括一项也没有); (ii)当 　　　 时,对于任何数 　　　,在数列　　中有无穷多个小于　　 ; (iii)当 　　时,数列　　的极限为　　 . 证明与定理1完全相仿. ; 定理3 设 为　　的上极限,那么,在　　中必存在一个子列,其极限为 ,并且 　是　　中所有收敛子列的极限中的最大值.设 为　　的下极限,那么,在　　中必存在一个子列,其极限为 ,并且 是　　中所有收敛子列的极限中的最小值. 　　;证明 仅以上极限 　来证明如下.分三???情形来考察: (i) 　　　　　，由定理１知道，必有一个子列　　收敛于　．此外，对任意　　　，在　　中只可能有有限多个项大于　　　，这就表明所有收敛子列的极限绝不会大于　　　，再由　的任意性，便得到所有收敛子列的极限必不大于　． 　（ii）当　　　　时，按定理１，存在子列　　　　，而其他一切收敛子列的极限当然不会大于　　;　　　　这一定理告诉我们，在一个数列　　中，它的所有收敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值，并且这个最大（小）值正是　　的上（下）极限． 　　推论１　　　　（有限或无穷大）的充要条件为 　　这个推论容易从定理３得到． 　　例１　 　 例2