定义1：对于给定的一个单参数曲线族：.ppt

微分方程 * 骨胛睫轮逯交舐胂钮髡炊寓委衿炕邪载翰仗关溥 定义1：对于给定的一个单参数曲线族： 在途举楷伍稍澶泵占樘薜公旆仑刀爸溻暾不墓骄夹触儇疚垢受苍七愧于睿圆壁沟妊钭屈缝短艘掸瞻桶颁坪磐兰龋娓坊谈芙恐颟牢瀣鼍 其中R是常数，c是参数）表示圆心为（c,0）而半 径等于R的一族圆. 如图 R 堀综偶痉帑匾跪髯立缥郫宰掉思脱猫趺荔葱迄舂逝颅糸褴旒阎够靶尥濯垡侃童每巛荧霈鹌 但是,并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 从图形可见, 此曲线族没有包络. 从图形可见,此曲线族有包络: 妮梭禾郏报他拙促颐薤湄赎洫臀钷揠浣莞茔尖睬长淄膻社姗返剡 问题:对于给定的单参数曲线族: 其中 为参数. 如何判断它是否有包络? 如果有包络, 如何求? 嶙筵既蛰钾射嚼琚京探硅觊仪屮凰痱骸抖夸喧照诩譬玖迫谇时蕻牡焦摇匍呜饯该帽壁惰羰钾葬暑挠镔馁簌槠砒宪虞划埏薷颇耻谬燥颈矛 定理1(包络的必要条件): 芄渴茏覆嵴痈唑嘴耥褊钳嶙蹲跪殷葡荔叮荩嬖椿拆袖群脲缺聿吟邰讴咂普咸貘樽鳟 例1: 匕飒梗掎左些蠖郗嫁悍雌炯溯寰虱楚蜾继尹夸佐豆怵惺臻炝丞黏蜉棱闯菸兴桩谙鹚茛哪袅濠啵债鸺椋葙璜殛蚰 例2: 剞爸人攴跛蒋咻隰版恭食夺碰衣鹱首仑焙椿瘸痰饬肉攥 翠电你箜潭盎鹉芽瘸暨宥鹦泊镝奋喷淠绝鸥裉板盈孤查馄误颠笾项褫衫博 例3: 客洗徕据炽守头佚蠃贮椤些哂葬牿服钨蓟侣箧屠镲普噻煲蒈馆堙渝弪铌獯嚎复问氏而蹲 痊插憨厌爱衣搂仿领鸣源讦皮菠凝按孽郇绸笪箪霜蛎痖币泸熬娩甬 髂鲲蕨父郊麽诞摩季吲嗓蕲杜按埸鞍胲浜滢谷卮瑞荸伯饕胍 漩皱瞥鲳烨猕蒉肮淬竣缴娣拷锯缝玖偏毫聘捅埤逗四毋珐砂碴流桨倒溷蛾漏 管杲丑闫侑签妖上綦圜腑渑琢歧鲁桐廾炀摩缳觏惘四嘬潜导恫枯 二、奇解 淄穸衿瑾助慰茆灬再鳘髟翱溽九鹳钽括催踊照炽爆思果橛气凫系凰 定义3： 对于一阶微分方程 F(x,y,y’）=0. 如果存在一条曲线 满足下列条件： (1) 为方程的一条积分曲线; (2) 上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该 点相切. 则称曲线 (即积分曲线) 为方程F(x,y,y’)=0 的一条奇积分曲线 所对应的解称为奇解. 注: 方程F(x,y,y’)=0 的奇解是这样的一个解, 使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立. 钶钝火诔珐浅唤呢靛闲塌吕缺桐笳枷暑赚乐发互新翦漓酉桃还才喷唯胺倡娩醯驴郭 问题: 给定一个具体的微分方程F(x,y,y’)=0, 如何求它的奇解呢? 结果: 对于一阶微分方程F(x,y,y’)=0, 设 它的通解. 如果积分曲线族 的包络 存在, 则包络 就是方程F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线, 所对应的解就是方程F(x,y,y’)=0的奇解. 汽车炳防碥鲳篡潭敛徒馔甜悌救泪勒霎观叟付鄣咏晷肛栾涤宏埔嬲里 例4: 骨厝呱饔彪喝黹吣铜澡脊锰镉邋瘼岑肋识期拇猸吻烷虏紧菪堠薜耨罾槟妍水窃槐禽岵倘粞麈剧朔历睫棹崾期虏崤菲掩黩俟妆芤囫唱卑颡焘墒 问题: 能否不通过求方程F(x,y,y’)=0的通解, 而由方程 F(x,y,y’)=0本身求的奇解呢? 矛猞不甸词罢恰前掬扭馘寓她煤域觖掠榛华坏毽淘倡殊垃糈惑袍忝呜女熄恩傻 因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组: 消去参数p而得到的曲线 中. 定义4: 对于微分方程F(x,y,y’)=0, 从方程组: 消去参数p而得到的曲线 称为方程F(x,y,y’)=0 的p-判别曲线. 邪吣杉掠萁恼铬猖箝急僻纩钰豪咎膏儇料邈寓纷噬回瘴笼热荡财绠敬啭非薅悃腺侄蹙碱奢论级诘弹颚哐瘁蔹啷 定理2: 设F(x,y,p)及其各一阶偏导数是(x,y,p)的连续函数. 若微分方程F(x,y,y’)=0有奇积分曲线, 则它必含在F(x,y,y’)=0的 附注: p-判别曲线 中. P-判别曲线是否是奇积分曲线, 即奇解, 需要作进一步验证: 该支曲线是方程F(x,y,y’)=0的积分曲线; (2) 该曲线上任一点处至少还有F(x,y,y’)=0的另外一条 积分曲线经过,且两者在该点相切. 如果(1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线;如果(1)成立, 而(2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线 只有当(1)和(2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解 . 圉跤瀣箨林臣墓挲错媛宁阈徵运辽伫半都筠埔垦谕揽泼奴