自动控制数学模型建模.pptVIP

§2-1 概述 §2-2 传递函数 §2-3 典型环节的传递函数 §2-4 闭环控制系统的动态结构图 §2-5 动态结构图的等效变换 §2-6 反馈控制系统的传递函数 §2-7 信号流图与梅逊公式;§ 2.1 数学模型概述 ? 为了从理论上对自动控制系统进行定性分析和定量计算，首先需要建立系统的数学模型。 系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。常用的动态数学模型有微分方程、传递函数及动态结构图。 系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列写出变量间的数学表达式，从而建立数学模型。 本章仅讨论解析法，关于实验法将在后面的章节进行介绍。;2.1.1线性系统的微分方程模型 ;如图RLC网络，由电路定律可得: ; 机械系统中，设外力F＝1，质量 m＝2，弹性系数k＝1，若阻尼系数较小 ＝1，则发生震荡，若阻尼系数较大 ＝10，不会产生震荡。但无;2.1.2 列写微分方程的一般方法 用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是： 1．根据实际工作情况，将系统划分为多个独立的环节，标出各环节的输入、输出变量。各环节之间无负载效应。 2．从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各环节所遵循的物理定律，列写的动态方程，一般为微分方程组。 3．消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程。 4．标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。;若撇开具体系统的物理属性，令r(t)为输入，c(t)为输出。线性n阶系统的输入输出微分方程式的一般表达式可写为 ;2.1.3 非线性数学模型的线性化 在建立控制系统的数学模型时，常常遇到非线性的问题。严格地讲，实际的物理系统都包含着不同程度的非线性因素。但是，许多非线性系统在一定的条件下可以近似地视作线性系统。 若控制系统在工作点的附近微小运动，则可将非线性函数展开为泰勒级数，并忽略级数展开式中的高次项，从而得到只含一次项的线性化方程。即用工作点的切线代替非线性曲线。;当(r－r 0)，很小时，可以忽略上式中二阶以上各项，得 或 ; 例2.2 图示为一个单摆系统,输入量M为零(不加外力矩), 输出量为摆幅θ(t)。摆锤的质量为m, 摆杆长度为l, 空气阻尼系数为μ,重力加速度为g。试建立系统的近似线性运动方程。 解 对于图示的单摆系统,根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程: ;令非线性函数sin(θ)=f，则工作点在θ0=0，f0=0。线性化：;§ 2.2 传 递 函 数 ;2. 拉氏变换的计算 根据定义积分计算，各典型函数的拉氏变换见下表。 ;2)MATLAB计算 syms s t ;Ft=1-sin(t) Fs=laplace(Ft,t,s) 执行结果：Fs=1/s-1/(s^2+1) 3. 拉氏反变换 已知时间函数的象函数通过拉氏反变换求出其时间函数：;1) 部分分式法;2) MATLAB拉氏反变换指令：ilaplace(Fs,s,t) 例2.3的MATLAB求解程序： syms s,t;ilaplace(1/[s*(s+3)*(s+1)^2]) 计算结果与手算结果完全一样。;例2.4 F(s)含有共轭复极点时的反变换。 解： ;4. 拉氏变换的基本定理 1) 线性定理 两个函数和的拉氏变换, 等于每个函数拉氏变换的和, 即 ;2) 微分定理 ; 3) 终值定理 函数 f(t) 在 t →+∞时的函数值(即稳定值)可以通过 f(t) 的拉氏变换F(s)乘以 s 取 s→0 时的极限而得到, 即 ;2.2.2 传递函数的定义和特点 1. 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 设输入量为r(t) ；输出量为 c (t) ，定义传递函数为： ;如果r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，则根据拉氏变换的定义和性质,对微分方程进行拉氏变换, 可得 ;用MATLAB指令： Gs=tf([b0，b1，……，bm]，[a0，a1，……，an]) 或者 s=tf(‘s’)；Gs=关于s 的多项式 构造多项式形式的传递函数后，可以用MATLAB的各种控制系统指令分析系统。;τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)为系统中各环节的时间常数, K为系统的放大倍数。 ; 使用 Gtf=tf(Gzpk) 或者 Gzpk＝