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《连续介质力学》例题和习题 第一章 矢量和张量分析 第一节 矢量与张量代数 一、矢量代数 令, , 则有 又因为: ;;;;;; ;; 则: 习题: 1、证明下列恒等式： 1） 2) 2、请判断下列矢量是否线性无关？ . 其中为单位正交基矢量。 3、试判断是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵。 二、张量代数 例1：令是一个张量，其使得矢量，经其变换后变为，，假定一个矢量，求。 解：利用张量的线性性质，有： = 例2：假定一个张量将基矢变换成以下形式： 那么该张量将变换成什么样的结果？ 解：由对基矢量的变换张量可知的矩阵表示为： 则有： 即 例3：利用张量的变换定义证明： 1）若为一个二阶张量，则为一四阶张量； 2）若为一矢量，则对任意坐标系满足的为一矢量。 证明：1）因为为一二阶张量，由张量的变换定义有： 则有 令 则有 即为一四阶张量。 2）由于和分别是矢量和张量，则有 由此可得： （*） 又因为对于任意坐标系都成立，则有 由（*）式可得： 等式两边同时乘以可得： 又因为 ，则 或 所以 由于上式对任一张量都成立，则有 即 这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此是一个矢量的分量。 习题 1、证明：如果和为任意二阶张量和的分量，且对任意坐标系都成立，则为一四阶张量。 例4：已知张量的矩阵形式为：，求张量的特征值和特征向量。 解：由求特征值和特征向量的特征方程有： 由此，可得三个不同的特征值： 对，由可得： （为待求的特征向量） 利用可解得： 则与对应的特征向量为： 对于，同理有： 同样利用可解得： 则与对应的特征向量为： 同理，对应的特征向量为： 习题： 1、令一张量可用矩阵形式表示，则： a)求的主值和主方向； b)求的主不变量； c)如果、、是的主方向，则写出 d)针对同样的基矢量，矩阵能否表示同样的张量？ 2、令和是任意两个张量，试证明： a)是一个张量； b)； c） 3、令一张量的矩阵形式为：，则： a)求张量的对称部分和反对称部分； b)求的反对称部分的对偶矢量（或轴矢量）。 第二节 矢量和张量的分析 例1:利用指标定义证明下列等式： 1）， 2），p是整数； 3），F为任一标量函数。 证明： （1）对于任意矢量，有。 则 由此也可得： （2）对 (3）因为 且关于i和j对称，则对于该矢量的第k个分量有 （i，j互换） （重新将i变为j，j变为i） (利用其对称性) 则 例2：证明 证明：令为任一二阶张量，则有： 其中 ；因为 结合二阶张量的主不变量的定义可得： 这表明： 由张量的标量函数导数的定义有： （对任一二阶张量） 则 又因为： 则有 由的任意性可得： 习题 1、令和为矢量场，为标量场，证明下列不等式： a） b） c） （） 2、对于，其中为一常值二阶张量，证明： 3、考虑一张量值函数，证明： （其中为一任意二阶张量） 第二章 运动学 第一节 物体的运动 例1：考虑如下运动：，其中是质点P在t时刻的位置矢量，而是质点P在t=0时刻的位置矢量。请画出初始时刻（t=0）具有如下图所示边长为单位1的立方体形状的物体在t时刻的构型。 解：由已知运动可得： ，， a）