基于Caputo定义的一维分数微分对流－弥散方程有限元解.pdfVIP

基于Caputo定义的一维分数微分对流－弥散方程有限元解∗ 黄权中1, 2 黄冠华1, 2 (1 中国农业大学, 水利与土木工程学院, 北京 100083) (2 中国－以色列国际农业研究培训中心, 北京 100083) 摘要：分数微分对流－弥散方程(Fractional Advection-Dispersion Equation，FADE)是一种用于模拟 多孔介质中溶质非费克迁移的新模型，然而由于分数微分定义的复杂性，仅能够获得特定的定解 条件下 FADE 模型的解析解。同时现有的 FADE 数值解大多为有限差分解，而其有限元解则不多 见。本文基于 Caputo 分数微分定义推导了一维 FADE 模型无条件稳定的有限元解，并与相同条 件下的解析解和有限差分解进行了对比，同时对其收敛性和数值稳定性进行了分析。研究结果表 明，FADE 模型的有限元解具有良好的收敛性；有限元解与解析解吻合良好，且明显优于有限差 分解。应用 FADE 模型对对阿特拉津在土柱中迁移过程进行模拟，与对流—弥散模型相比 FADE 模型具有更的模拟精度。 关键词：分数微分对流-弥散方程，有限元解，Caputo 分数微分法 基于Fick扩散定律的对流－弥散方程（Advection-Dispersion Equation ，ADE ）是描述介质中 溶质迁移主要理论，然而越来越多的研究表明，ADE模型并不能很好的描述模拟溶质的迁移过程。 首先，溶质迁移过程中所监测到的穿透曲线(Breakthrough Curves，BTCs)往往都表现出提早穿透 和拖尾现象，这与ADE模型的模拟结果有着较大的偏离；其次，用ADE模型来模拟溶质的迁移过 程时，还存在着弥散系数的尺度效应，即弥散系数有随研究尺度增大而增大的现象[1~5] 。事实上， 多孔介质是包含多重的、嵌套和天然的空间与时间尺度连续演进的介质[6] 。溶质在尺度连续演进 介质中的运移过程是非费克的，基于费克扩散定理和Brownian运动理论的ADE方程就不足以描述 这个过程。Benson等[7,8]提出的应用Lévy运动理论和相应的分数微分对流－弥散方程(Fractional Advection-Dispersion Equation ，FADE)来描述具有非费克现象的溶质运移过程已得到广泛关注 [8~13] 。 由于分数微分定义的复杂性，其解析解通常只有在特定的边界条件和初始条件下才能获得 [8,14,15]，同时解析解在应用中也会受到多方面的限制。例如基于格林函数(或类似的特殊函数) 的解 析解，其幂级数的展开形式必须收敛，且当空间变量非常大或者非常小时，解析解就不再适用[16] 。 现有的FADE模型数值方法大多是以Riemman-Liouville (R －L)或Grünwald-Letnikov(G －L)分数阶 微分定义为基础[17,18]，但这样的数值方法往往存在质量不守恒等问题[15]，而基于Caputo分数微分 的定义则较好避免了这些不足[15,19] 。同时，现有的FADE模型数值解主要为有限差分解，而有限 元解则相对较少，本文基于Caputo分数微分定义，主要进行一维FADE模型有限元解法的研究。 ∗收稿日期：2009-*-* ；修改日期：2009-*-* 基金项目：国家自然科学基金项目资助50639040 ）；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-05-0125) ；教育部长江学者 创新团队计划 作者简介：黄权中，1974-，男，四川仁寿县人，博士，讲师，主要从事农田中水分与溶质运移模拟研究。Email:huangqzh@cau.edu.cn 通讯作者：黄冠华，博士，教授，主要从事多孔介质中水分与溶质运移模拟研究。Email: ghuang@cau.edu.cn 1 基本方程 一维的FADE可表示为[7,20] ： ∂C − v ∂C +D ∂ ⎛⎜⎛⎜1+β⎞⎟∂α−1C +⎛⎜1−β⎞⎟ ∂α−1C ⎞⎟ ∂t ∂x ∂x ⎜ 2 ∂xα−1 2 α−1 ⎟ (1)