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1.4 经济学常用函数 导言：经济学是研究如何利用有限的资源合理安排生产，并把生产出来的产品在消费者中合理分配，以达到人类现在和将来最大满足的科学。为了实现经济学的目标，需要对经济变量进行定量分析。本节介绍经济学中的几个常用概念和常用经济学函数，这些经济学概念和经济学函数要记住。 需求函数 需求被理解为购买者在一定时期内愿意，并且有购买能力以一个可能的价格购买某种商品的数量。需求与购买的愿望和能力有关，如果不考虑购买者的收入、偏好等因素，则在一定时期内商品的需求量主要依赖于商品的价格。因此商品的需求是价格的函数，称为需求函数，记为。有时把需求量作为自变量，价格取为因变量，取的反函数，，也称为需求函数。需求函数通常是单调减函数，其图像如图1.12所示。 图 1.12 需求函数 成本函数 生产某产品时为消耗的生产要素所支付的费用称为成本。总成本是生产特定产量所需要的成本总额，总成本C由固定成本固定成本是在一定时期内不随产量变动的成本，如厂房、机器折旧费、一般管理费等，可变成本是随着产量而变动的费用，如原料、动力费用、劳动力支出等等。平均成本为 收益函数 设某种商品的价格为p，需求量（等于销售量）为，则出售这些商品可获得的总收益为。总收益也可写为，其中是需求函数的反函数。 供给函数 卖方在一定时期内以任一可能价格愿意且能出售的某种商品的数量称为供给。在不考虑投入成本、劳务价格等因素情况下，供给量q主要与市场价格p有关，记为，通常是单调增加函数，如图1.13所示。 图1.13 供给函数 利润函数 收益R与成本C的差称为利润L，即。 称为市场均衡价格，如图1.13所示。使利润等于零的生产量q成为保本产量，即满足 库存函数 设某企业在计划期，对某种物品的总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为假定每件物品的单位时间存储费用为，每次进货费用为。每次进货量相同，进货时间间隔不变，以匀速消耗存储的物品，则平均库存费为，那么在时间T内的总费用为 上式右边第一项是总存储费，第二项是总进货费。库存函数的示意图见图1.14，从图形可见，库存函数是周期函数。 图1.14 库存函数 例1.9 某工厂生产某种产品，固定成本为200元，每多生产1件产品，成本增加10元，该产品的需求函数为，试计算该产品的成本，平均成本，收益和利润。 解 成本函数 ，平均成本函数； 收益函数 或者； 利润函数 或者 。 例1.10 某个商店以每件100元的价格批发某种牌子的衬衫，如果顾客一次购买20件以上但不超过50件，则超出20件的部分以8折优惠顾客。如果顾客一次购买超过50件以上，则超出50件的部分以7折优惠顾客。试把一次成交的销售收入表示成销售量的函数。 解依题意可得，时，；时，；时， 。综合之得 。 这种分段形式表示的函数称为分段函数。 再如，如下的函数也是分段函数（见图1-15） ， 。 图1-15 函数的表达式中的这样的点称为函数的分段点。注意分段函数是一个完整的函数，它表示在自变量变化的不同区间上，函数的对应关系是不同的表达式。的定义域是，的定义域是。计算函数值时，根据对应关系计算，例如有 同理，。 初等函数和由初等函数分段表示的分段函数是微积分中研究的主要的具体函数类型。在实践中常用的函数除了在前面的讨论中出现的用公式表示的函数形式外，还有用表格，图形等形式表示的函数。分别见下面的例1.11和例1.12。 例1.11 1998年深圳市年平均气温为23.8,创下有记录(47年)以来的最高值,比历年平均值高出1.5。1998年各月平均气温与历年平均差值℃）。 表1 年份 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1998 气温 15.3 16.7 19.5 25.1 26.8 28.2 29.4 29.6 28.0 26.2 22.8 18.3 差值 0.8 1.5 1.1 2.8 1.0 0.7 1.0 1.6 1.0 2.0 2.6 2.1 1998年的12个月份为定义域D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},自变量是月份t,表1定义了D上的两个函数，一个是以温度T为因变量的温度函数,另一个是以与历年平均温度的差值为因变量的差值函数。象例1.