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借助高等数学知识快速求解立体几何题 河南省延津县一中 解永红 453200 以“为高校选拔人才”为目的，以“能力创意”为考查重点的高考，正随着新课程标准的实施在不断地改革与发展。立体几何部分由传统的方法过渡到用空间向量求解已成了我们数学教学中必不可少的一部分，也是高考数学试题中的一道靓丽的风景线。笔者认为如果能借助点到平面的距离公式，三阶行列式等部分高等数学知识，会让我们的解题变得快速而又简捷。 用点到平面的距离公式快速求点到平面的距离 预备知识 二元一次方程在平面上表示一条直线，点 到直线的距离 三元一次方程在空间中表示一个平面，记作，点到平面：距离，因此我们只要建立空间直角坐标系，找平面上不在同一直线上的三个点，将其坐标分别代入中得: (i)若平面过原点，则，则上述方程能够求出的值，从而得到平面的方程 (ii)若平面不经过原点，则，则上述方程能够用表示，然后将代入中，约去得到平面的方程。 最后用距离公式求出到平面的距离。 例1. （2010年江西高考20题）（本小题满分12分） 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD 平面BCD，AB 平面BCD， 。 （1） 求点A到平面MBC的距离； 解:取C D中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,则MO⊥平面 .以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图. ，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，-，0），A（0，-，2）， 设平面的方程为将的坐标分别代入得 显然平面不过故 故解得 将其代入中约去得到;平面的方程： 点平面的距离为 用三阶行列式快速求平面的法向量 用空间向量求解有关线面角，二面角，点到平面的距离，两条异面直线的距离时，都需要求平面的法向量。下面借助三阶行列式快速求平面的法向量。 预备知识 二阶行列式定义； = 三阶行列式定义; = = + 定理：若平面内两个不共线的向量，，则平面的一个法向量 = + =（，，）（其中为轴，轴的单位向量）。 证明;设，是平面内两个不共线的向量，是平面的一个法向量。则 即 此方程组有两个方程，三个未知数，是一个不定方程，有无数组解，求出一组即可。两式消去得，两式消去得不妨取上述方程组的一组解为; 即，， 故（，，） 下面我们用上述定理快速求例1中平面MBC的一个法向量 是平面中的两个不共线的向量，可以求得; =，=，= 所以（ ）