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第二单元 导数与微分 一、填空题 1、已知，则= 。 2、存在，有，则= 。 3、，则= 。 4、二阶可导，，则= ；= 。 5、曲线在点 处切线与连接曲线上两点的弦平行。 6、，则= 。 7、，则= ，= 。 8、若，则= 。 9、曲线于点_________处的切线斜率为2。 10、设，则。 11、设函数由方程确定，则。 12、设则。 二、单项选择 1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则=（ ）。 （Ａ）； （Ｂ）； （C）； （Ｄ）。 3、函数，且，则（ ）。 （Ａ） ； （Ｂ） ； （C） ； （Ｄ）。 4、已知为可导的偶函数，且，则曲线在 处切线的方程是 。 （Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。 5、设可导，则= 。 （Ａ） ； （Ｂ） ； （C） ； （Ｄ）。 6、函数有任意阶导数，且，则= 。 （Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。 7、若，则=（ ） （Ａ）； （Ｂ）； （C）； （Ｄ）。 8、设函数在点处存在和，则是导数存在的（ ） （Ａ）必要非充分条件； （Ｂ）充分非必要条件； （C）充分必要条件； （Ｄ）既非充分又非必要条件。 9、设则（ ） （Ａ）； （Ｂ） ； （C）； （Ｄ）。 10、若可导，且，则有（ ） （Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。 11、设函数连续，且，则存在，使得（ ） （A）在内单调增加； （B）在内单调减少； （C）对任意的有；（D）对任意的有。 12、设在处可导，则（ ） （A） ； （B）为任意常数； （C） ； （C）为任意常数。 三、计算解答 1、计算下列各题 （1），求； （2），求； （3），； （4），求； （5），求； （6），求； （7），在处有连续的一阶导数，求； （8）设在处有连续的一阶导数，且，求。 2、试确定常数之值，使函数处处可导。 3、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。 4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。 5、若函数对任意实数有，且，证明。 6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。 第二单元 导数与微分测试题详细解答 一、填空题 1、 2、 3、 4、 ， ， 5、 弦的斜率 ，当时，。 6、 7、， 8、 9、 ，由 ， 在点处的切线斜率为2 10、 2 ， 11、 方程两边对求导得 解得 。 12、 由参数式求导公式得， 再对求导，由复合函数求导法得 。 二、选择题 1、 选（Ｄ） 由 交点为 ，， 3、 选（Ｃ） 由得 4、 选（A） 由 切线方程为：即 5、 选（Ｄ） 6、 选（Ｂ） 设，则 7、 选（Ｃ） 又， 8、 选（Ｃ） 在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。 9、 选（Ｄ） 另解：由定义， 10、 选（Ｂ） 11、由导数定义知 ， 再由极限的保号性知 当时， 从而 当时，，因此C成立，应选C。 12、由函数在处可导，知函数在处连续 ，所以。 又， 所以。应选C。 三、计算解答 1、计算下列各题 （1） （2） ，， （3）两边对求导： （4） 设 则 （5）两边取对数： 两边求导： （6）利用定义： （7） 又 [注：因在处是否二阶可导不知，故只能用定义求。] （8） 2、易知当时，均可导，要使在处可导 则 ， 且在处连续。即 而 又 由 3、证明：设交点坐标为，则 对两边求导： 曲线在处切线斜率 又由 曲线在处切线斜率 又 两切线相互垂直。 4、设分钟后气球上升了米，则 两边对求导： 当m时， 当m时， （弧度/分） 5、证明： 6、解：由于，于是所求切线斜率为 ， 从而所求切线方程为 ， 即 又法线斜率为 所以所求法线方程为 ，即 《高等数学》单元测试及详细解答 陆航学院数理教研室编 第19页