数值分析期末考试题.docVIP

试题A 成绩 试　题　共 ３ 页 第 １ 页 课程名称 数值计算方法 考试时间 年 月 日 时 分至 时 分 信息与计算教研室 教 研 室 开卷 闭卷 √ 09级统计，数学，信息 适用专业班级 提前 期末 √ 班 级 姓名 学号 得分 一、填空题（每空2分，共10分） 1.设近似数和都是四舍五入后的有效数，则相对误差限（或）. 2.设关于真值具有 （2）位有效数字. 3.牛顿—柯特斯求积公式的系数和（?1） 4.设,=（21）,解线性方程组的Jacobi迭代法（收敛.） （收敛还是发散?）. 得分 二（12分）、已知曲线与在点(1.6,6.9) 附近相切. 试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值，要求当时停止迭代. (2) 讨论该迭代法的收敛阶. 考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。 解: 有切线斜率相等知， , 即 (2分) 故牛顿迭代格式为 . (2分) 取迭代初值，得 ，，，. (2分) 由上知，迭代函数为 . (2分) 而 ，. (2分) 易知，，故收敛阶为1。 (2分) 得分 三（10分）、求超定方程组 的最小二乘解，并求误差平方和(保留4位有效数字). 解：将方程组改写为矩阵形式 ， (2分) 则正规方程组为 (4分) 即 ，解得，. (2分) 误差(2分) 得分 四（8分）、确定下列积分公式中的待定参数,和，使其代数精 度尽可能高，并说明代数精度是多少？ 解：令公式对都精确成立,则有 . (3分) 解得:, . 故求积公式为 (3分) 时,左=右=0,公式也精确成立.时,左=,右=,公式不精确成立. 所以公式的代数精确为3. (2分) 得分 五（10分）、有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有迭代公 式 (k = 1，2，…… ) 讨论使迭代序列收敛的( 的取值范围. 解：因为 （*） 即 (2分) 迭代矩阵为，设A的特征值为(，因A对称正定，故( 0，则B矩阵的特征多项式为 (2分) 显然，B矩阵的特征值为，由解得：。 (3分) 设，则当时，，当然，时，也有 (3分) 此时迭代序列(*)式收敛。 试　题　共　３　页　　第　２　页 得分 六（15分）、试用Doolittle分解法求解方程组 ＝ 解： A= (4分) 所以有 ， (2分) ， (2分) ， (2分) 下求解 ， (2分) 得 (3分) 得分 七（10分）、已知函数的数据如下表 x 0 1 2 3 y 1 3 9 27 试用Newton插值法作一个三次插值多项式P3(x),利用P3(x)计算. 解：令xk = k (k = 0，1，2，3)，则根据函数表有f(xk)= 3k。构造差商表 x f(x) 0 1 1 3 2 2 9 6 2 3 27 18 6 4/3 (4分) 根据Newton插值公式 (4分) 由于被插值函数，故取 x = 1/2，便得 . (2分) 得分 八（10分）、设X是n维向量，A是n×n阶矩阵. 求证 证明：设 A = ( aij )n×n，则 ATA =，该矩阵的迹（主对角元之和）为 (2分) 根据矩阵特征值理论，n阶方阵ATA的特征值之和等于ATA的迹，即 (3分) 所以 (3分) 由上两式得