(lecture3)迭代法.pptVIP

* $2 非线性方程求解的迭代法 第三讲 §2. 迭代法 等价变换 迭代法是一种逐步逼近的方法，首先给出一个粗糙的 初值，利用同一个迭代公式，反复计算。 用迭代法求方程根的基本步骤如下： 第一步：化为同解方程 第二步：产生迭代序列 先建立适当的迭代格式： 利用上述格式可产生一列数： 第三步：取极限 一定收敛吗？ 在直角坐标系中同时作 和 两条曲线，如图所 示，则这两条曲线的交点的 横坐标就是方程 的根 ，也就是 的根。迭 代格式 由 求 ， 相当于过曲线上 作水平线与直线 相交， 过交点作x轴的垂线，此时 垂足至原点距离等于 ， 故垂足横坐标为 。 迭代法的几何解释： 由上图可见，曲线斜率 时迭代序列收敛，且 越小收敛越快；反之，若 ，则迭代序 列发散。 x y y = x x y y = x x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 例2.2.1 解 下面给出简单迭代法的一个收敛性定理。 Lipschitz条件 保证迭代不中断 压缩映像 ① 存在唯一性 证明 做辅助函数 ，则有 所以，存在点 若又有 ，则有 所以 ② 收敛性 任取初值 则 所以，任意的初值都收敛。 ③ 误差估计 证毕 例2.2.3 解 也可化为等价方程 . 但此时定理条件不成立，迭代序列不能保证收敛。 例2.2.4 解 由于定理中条件(1)一般难于验证，而且在大区间上，这些条件也不一定都成立。所以实际使用迭代法总是在根的邻近进行。 表明收敛性与初值的选择有关！ 实际用迭代法计算时，先用二分法求较好的初值，然后再进行迭代。 上面定理所涉及的收敛性，即在根邻域的收敛性称为局部收敛性，具有局部收敛性质的迭代法通常对初值的要求很高，使用起来不太方便。因而，人们通常希望迭代算法对相对大的范围的初始点具有收敛性，这种收敛性称为全局收敛性。 构造迭代法，人们自然希望迭代算法不仅收敛，而且收敛快，即所谓收敛的速度。 定义2.2.1 设迭代过程 收敛于 的 根 . 如果迭代误差 满足下列关系 则称该迭代序列是p 阶收敛的( 时要求 )。 迭代法收敛的阶 当p=1时，称为线性收敛； 当p1时，称为超线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。 显然，迭代序列的收敛阶越高，它的收敛速度就越快。 因为，由 得 *