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谈不等式证明的几种特殊方法 添加日期:2011年01月20日 来源：互联网 作者：admin 点击数： 166 【字体：大 中 小】 摘要不等式的证明在数学中是比较常见的题型,本文主要介绍几种特殊的证法,解决一些用一般方法不易解决的不等式证明问题。　　关键词拉格朗日中值定理 导函数 柯西中值定理　　　　　　不等式是中学教材的重要内容,对它的研究几乎包括了中学数学的全部方法,因此它具有很强的综合性和代表性,不等式证明方法与技巧层出不穷,但有些不等式用常见的方法(如比较法、分析综合法、放缩法和数形结合法等)很难证出来,这里结合高等数学的相关知识介绍几种特殊的不等式的证法,解决某些不等式的证明问题。　　1 转化成数列,然后证明数列的递增递减　　对于与自然数有关的不等式,一般情况下都可用数学归纳法来证明不等式成立,有时若考虑把它转化成数列,然后利用数列的递增或递减性来证明会使问题易于解决。　　例1.求证:不等式2n-1≤n!对于任何正整数都成立　　证明:我们把所给的不等式变为等价的不等式≤1　　现在,我们来研究其通项公式an=　　给出的数列,下面我们只需证明它是单调递减的,实际上对于任意的nN有　　　　所以该数列是递减的,而它的首项等于1,因此对于任何正整数有≤1即2n-1≤n!　　此题若采用一般方法如数学归纳法来证,证明过程太繁琐,机械化,选择这种方法证明不等式,思路清晰,简化了证明过程,我们很容易收到事半功倍的效果。　　2 利用拉格朗日中值定理,导函数或柯西中值定理[2]证明　　对于有些与函数有关的不等式,我们可先构造一个辅助函数,然后利用拉格朗日中值定理或导函数的增减性来证明。　　例2.当x0,exx+1　　证明(1):令f(x)=ex-x-1(x0)　　因为f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,故有 = f(),(0,x)　　即=e-1,(0,x)所以exx+1　　证明(2):设f(x)=ex-x-1,f(x)=ex-1　　x0有f(x)0,从而函数f(x)在(0,+∞)严格单调递增,于是x0　　有f(x)=ex-x-10 即x0,有exx+1　　此题开始接触,无法下手摸不着头脑,若能联想到函数有关的不等式,我们能很容易地构造出辅助函数,在验证辅助函数满足定理后,我们用拉格朗日中值定理或导函数的增减性来证明,思路简洁明快。　　例3.证明:当时0　　　　证明:函数arctan在[a,b]满足柯西中值定理条件,有　　arctan-arctan=(arctan)|x=c(b-a)=,aCB　　而有　　此类题目不等式中的代数式特征及联系很容易暴露出来,若能熟练应用柯西中值定理,我们就能一眼看出相应的函数,作到成竹在胸。　　3 利用柯西不等式[1]证明　　在用柯西不等式证明其他不等式时,关键在于结合柯西不等式找出题目中不等式的特点,构造出适当的两组数,将会使问题证明简化　　例4.设aiR+(i=1,2,…,n),a1+a2+…+an=1　　求证:(ai+)≥　　证明:首先证明,对于任何aiR+(i=1,2,…,n)都有　　　　事实上,从柯西不等式可得　　[1]式左边=　　下面我们来证明原不等式,由柯西不等式得,　　　　又由ai=1可知:　　　　由(2),(3)得(ai+)≥　　在本题证明中,当证明(1)与(2)式时两次应用了柯西不等式,从证明过程中可以看到应用柯西不等式的关键在于构造适合不等式条件的两组正数及,以及符合柯西不等式形式[aibi]2(如(2)式的证明)或(ai2)(bi2)(如(1)式的证明)。　　4 利用排序原理[1]证明不等式　　排序原理是将序结构应用到不等式的成功产物,它同排列与计数(属组合数学),线性规划等有密切联系,排序原理是证明不等式的很重要的工具,排序原理的应用技巧较强,如何设两个数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)是排序原理应用的关键。　　例5.设都是正数x1,x2,…,xn,求证:　　　　证明:由排序原理得　　　　由此例,我们可惊喜地发现,若能巧妙地设计两个数组应用排序不等式证明不等式,比起其他一般方法当然就可化难为易,简捷明快。　　5 利用概率论中的一个简单矩不等式[3]证明不等式　　此简单矩不等式可以用来证明一类轮换不等式:　　设a1,a2,…,an是不全相等的不等式,n≥且ai=s　　则n(n-1)　　例6.已知不全相等的不等式的正数,求证:　　a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc　　证明:原式等价于6　　设随机变量X的分布列为　　　　在应用简单距不等式证明这类轮换不等式时,先要摸清不等式代数式的规律性,巧设随机变量的分布列,这样