精算概率论2.pptVIP

* * 一、概率的公理化定义 §1.2 概率的定义及其确定方法 (1) 非负性： P(A) ?≥0； (2) 规范性：P(?)＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，……是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1∪A2 ∪… )＝ P(A1) ＋P(A2)+… 则称P(A)为事件A的概率。 1. 定义 若对随机现象的样本空间? 中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三个条件： 定义1.1　在n次重复试验中,若事件A发生了 nA次,则称nA为事件A发生的频数,称 为事件 A发生的频率，记为 二.确定概率的频率方法 频率的性质 (1) 0? fn(A) ??1； (2) fn(Ω)＝1， fn(? )=0； (3) 可加性：若AB＝? ，则 fn(A∪B)＝ fn(A) ＋fn(B). 实践证明：随着试验次数n增大时，事件发生的频率 fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。将此稳定值记作P(A)，作为事件A发生的概率.(我们将此作为概率的统计定义) 概率的统计定义提供了一种估计概率的方法,便于实际应用, 当n充分大时可以取频率作为概率的估计值.但它的局限性就是要做大量的试验,而且要精确获得频率的稳定值是困难的。 三.确定概率的古典方法 具有下列两个特点的一类随机试验称为古典概型（等可能概型） （1）基本事件（样本点）的个数只有有限个-----（有限性） （2）每个基本事件发生的可能性相等-----（等可能性） 在古典概型中，设样本空间Ω包含有n个样本点，A是一个随机事件，且A中含有nA个样本点，则事件A发生的概率为 1.抽球问题 例1 箱中有3个红球5个白球. (1)不放回连续取3个球; (2) 有放回(每次一个,看后放回,再取下一次).分别求两种 取球方式下,取到一个红球两个白球的概率. 解 设A表示事件”取到一个红球两个白球”. (1) 样本空间的样本点总数为: 事件A包含的样本点数为: 故事件A的概率为: (2) 样本空间的样本点总数为: 事件A包含的样本点数为: 事件A的概率为: 例2 将3个球随机地放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？ 解 设A=“每盒恰有一球”,B=“空一盒” 2、分球入盒（分房）问题 又 或者 解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一 周的任意一天去接待是等可能的，则12次接待来访者都 在周二、周四的概率为 例3 某接待站在某一周(7天)曾接待过12次来访，已知 所有这12次接待都在周二和周四进行的。问是否可以推断 接待时间是有规定的？ 即千万分之三。由实际推断原理——概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的，而现在概率很小（只有千万分之三的事件在一次试验中竟然发生了，由此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。 一般地,若一个试验满足: (1) 试验的样本空间Ω是直线上某个有限区间,或者是平面、空间上的某个有限可度量的区域; (2) 每个样本点的发生具有等可能性. 则称该试验为几何概型. 四.确定概率的几何方法 在几何概型中，设区域 A为样本空间Ω上的子区域,则随机点M 落入子区域A的概率为 其中m(Ω)及m(A)表示区域Ω及A的长度、面积或体积. 例1 某人发现他的表停了,他打开收音机,想听电台报时,试求它等待的时间不超过10分钟的概率. 设事件A=“等待时间不超过10分钟”,则导致事件A发生的 样本点是打开收音机的时刻处于区间[50,60]上的任一点. 这个区间长度为10(单位:分),即m(A )=10;而Ω的长度为60 (单位:分),即m(Ω)=60.由几何概率的定义,有 解 因为电台每隔60分钟(即1小时)报时一次,因此,可认为此人打开收音机的时刻处在[0,60]上任何一点都是等可能的,其样本点有无限多个,样本空间就是区间Ω=[0,60]. §1.3 概率的性质 性质 3 (减法公式)：对任意二事件 性质 1 不可能事件? 的概率为零, 即 P(? )=0. 性质 2 (有限可加性)：设A1,A2,…An 是n个两两互不相容的事件,即AiAj＝? ,(i?j), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An). P(A－B)=P(A)－P(B) 且 P(A)≥P(B) 有 特别地，当 时，有 性质6 (加法公