精算概率论5.pptVIP

* * § 2.1 随机变量及其分布 几个例子 例1 箱中有3个白球,5个红球.从中任取4个球,用 X表示取到的白球数,则X的可能取值为: 0,1,2,3. 一、随机变量的概念 例2 抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况，试验结果为“出现正面”或“出现反面”，若记 则X的可能取值为0或1，且变量X取不同的值就表示不同的事件： 例3 在某一段时间内，电话交换台间隔接到的呼叫次数是一个变量.如果用X表示电话交换台在这段时间间隔内接到的呼叫次数，则X的可能值为：0,1,2,3,…,且变量X取不同的值就表示不同的事件，如 {X=0}={没有接到呼叫}， {X=10}={接到10次呼叫}， {5 ? X ?20}={接到5到20次呼叫} 可能取值为（0，+?）内的一切实数，且变量 X 取 不同的值就表示不同的事件，如: 例4 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其使用.如果用 X 记灯泡的使用寿命（单位：小时）则 X 的 {0 ? X ? 1000}={灯泡的使用寿命不超过1000小时}; {X1000}= {灯泡的使用寿命在1000小时}. 随机变量常用X、Y、Z 或 ?、?、? 等表示。 定义 定义在样本空间?上的一个单值实函数X(?)称为一个随机变量. 随机变量的分类: 离散型随机变量——全部可能取到的值是有限个或可列无穷多个的随机变量； 非离散型随机变量——全部可能取到的值不能一一列举的随机变量.其中最重要也是最常见的是连续型随机变量,其可能取值充满某个区间. 定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x) = P{X≤x} 称为X的分布函数. 二、随机变量的分布函数 分布函数F(x)具有以下基本性质： (1) F(x)单调不减，即对任意x1﹤x2有F(x1) ≤ F(x2)； (2) 0≤ F(x) ≤1，且F(﹣∞)=0， F(﹢∞)=1； (3) F(x)右连续，即F(x+0) =F(x) 证 (1) F(x2) － F(x1)= P{x1X?x2} ≥0，则 F(x1) ≤ F(x2) 反之，具有上述三个性质的实函数，即可作为某个随机变量的分布函数。故该三个性质是判断某一函数是否可作为分布函数的充分必要条件。 随机事件的概率，都可利用它来计算。例如，对任意的实 有了分布函数这个工具，由随机变量X所产生的一切 数 有： 例1 设随机变量X的分布函数为 求 （1）系数A, B； . 解 (1) 由分布函数的性质有 可得 故 例2 设随机变量X只取一个值c, 即 P(X=c) = 1,求 X 的分布函数F(x). 解 当 xc时，“X≤x”为不可能事件，则 F(x)= P{X≤x} =0 故 当x≥c时，“X≤x”为必然事件，则 F(x)= P{X≤x} = P（X=c）= 1 X 的分布函数F(x). 例 假设随机变量X的绝对值不大于1; 且 在事件(-1X1)出现的条件下，X在(-1,1)内的任一子区间 上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求： 解 由定义 当 当 当 而因为 时， 时， 时， 所以 故当-1≤x1时 三、 离散型随机变量的概率分布列和分布函数 定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为 X取这些值的概率为 P { X = xk } = pk (k=1,2,3, …) 称其为离散型随机变量X 的概率分布或分布列,分布律，也可用表格形式表示为 X p x1 x2 … xn … p1 p2 … pn … 例1 设有一批产品共100件,其中95件正品,5件次品.现从中随即抽取 10 件产品,抽得的次品数X 的所有可能取值及取每一个可能值的概率为: X p 0 1 2 3 4 5 0.5837 0.3394 0.0702 0.0064 0.0003 0.0000 概率分布的性质： （非负性） （归一性） 例2 设随机变量X的分布律为 X P –1 2 3 1/4 1/2 1/4 求X的分布函数，并求P{X≤1/2} ， P{3/2X≤5/2} 和 P{2≤X≤3} . 解 当x–1时, F(x)= P{X≤x} =0, 当–1≤x2时, F(x)= P{X≤x} = P（X=–1）= 1/4 当2≤x3时, F(x)= P