精算概率论8.pptVIP

* * §2.4几种常用离散型分布 一、两点分布（0–1）分布 设随机变量X 只可能取0与1两个值，且其概率分布为 P { X= k} = pkq1-k (k=0,1) 或 X P 0 1 q p 其中0p1, q=1–p, 则称X 服从两点分布（或0-1分布）. 设E为随机试验，A为E的事件，P(A)=p(0p1), 定义随机变量 X P 0 1 1–p p 则X服从两点分布 E(X)=0×(1–p)+1× p =p 易得 二、 二项分布 定义 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 P(A)=P(0p1),在n次重复独立试验中，事件A发生的次数记为 X，则X 所有可能取值为 0，1，2，…n,其概率分布为 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p). 二项分布的分布律满足 B(20, p) (p=0.1,0.3,0.5)的图形如下： 例1 某车间有若干台同型号自动车床独立工作,每台车床发生故障的概率都是0.01,假设发生故障时每台车床须由一名技师处理. (1）若由一名技师负责维修20台车床,求车床发生故障时不能及时维修的概率; （2）若由3名技师共同负责维修80台,求车床发生故障时不能及时修理的概率. 解 (1) 用X表示20台车床在同一时刻发生故障台数,则 (2)用Y 表示80台车床同一时刻发生故障的台数,则 车床发生故障时不能及修理意味着“X≥2”.故所求为 当维修技师有3名时,车床发生故障时不能及时维修,意味着“Y≥4”,故所求为 X~B(20,0.01) Y~B(80,0.01). 计算结果表明: 在(2)中虽然任务增加了,但是质量不仅没有降低,反而有所提高.因而可利用概率论方法来讨论经济学中的某些问题,更有效地更合理的配置资源等. 例2 若一年中60岁以下的成年人死亡的概率为0.005.现有2000个这类人参加人寿保险.试求未来一年中这些被保险的人中有10人死亡的概率和死亡的人数不超过15人的概率. 解 “每一个被保险人在一年中是否死亡”是一个贝 努利试验. 设未来一年中2000个被保险人中有X人死亡.则 X~B(2000,0.005). 故所求概率为 易得二项分布的期望与方差 又 其中 0是常数,则称X服从参数为?的泊松分布,记为 显然泊松分布的分布律满足概率分布的性质: 定义 设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,3,…, 而取各个值的概率为 三、泊松分布 　 泊松分布在各领域——尤其是社会生活和物理学领域中有着广泛的应用，常用来描述大量重复试验中稀有事件（即概率较小的事件）出现的次数.如某段时间内电话交换台接到的呼叫次数、某一医院一天内的急诊病人数、某个地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、某车站一个时间间隔内候车的乘客数、一本书某页上的印刷错误数、某纺纱机一段时间间隔内的断头数、放射性物质在某时间段内发出的α粒子数等等,都服从泊松分布。 例3 设某市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布, 据 统计资料显示在一年中因交通事故死亡一人的概率是死 亡两人概率的1/2,计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率. 解 设随机变量X表示一年中因交通事故死亡的人数, 则X服从参数为 ? 的泊松分布.由已知条件得出: 泊松定理 设随机变量 且满足 则对任意非负整数 k,有 根据泊松定理,若随机变量X~B(n,p) , 则当n很大,而p 又很小时,X近似服从泊松分布 其中 例4 某储蓄所开有1000个资金帐户,每户资金10万元.假设每日每个资金帐户到储蓄所提取20%现金的概率为0.006,问该储蓄所每日至少要准备多少现金才能以95%以上的概率满足客户提款的要求? 解 设每日提取现金的帐户数为X,于是每日提取现金的总数为2X万元.又设储蓄所准备的现金数为x万元,由题设,应求最小的x,故得: 故储蓄所每日至少应准备20万元现金. 例5 假设某段时间里光临电器超市的顾客数服从参 为?的泊松分布,而在超市里每个顾客购买空调的概率为p,问这段时间里恰好有k个顾客买空调的概率有多大? 解 设X和Y分别表示这段时间里购买空调的人数和进入电器超市的总人数.由全概率公式 在已知Y=n名顾客进入超市的条件下,购买空调的顾客数为X=k的条件概率为: 因为Y 服从参数为 的泊松分布, 即 * *