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第二章 理赔额与理赔次数模型 §2.1 引言 解： Pareto分布的均值 有限期望值 1）假定保单规定免赔额为20，理赔额 Y= Y未定义， 其他 代入得 思考 为什么E(Y)E(X)?? 2）假定保单规定最高赔偿限额为200， 则保险公司支付的平均理赔额 3）假定同时规定保险公司赔偿损失额高于20 元部分的比例为80%，则 四、通货膨胀效应影响 1. 通货膨胀率已知为r X: 实际损失额，分布函数为F(x) ，通货膨胀率r Z: 经通货膨胀调整后的损失额 Z=(1+r)X,则 假定免赔额d、赔偿限额u，比例分担额 在通货膨胀前后不变. Z的有限期望函数 考虑一般免赔额d，通货膨胀率为r，则理赔额的均值为 若保单规定了最高赔偿限额u， 通货膨胀率为r，则保险公司的平均赔款额为 定理2.2 设X表示实际损失额，若保单规定了免赔额为d，最高赔偿限额为u，比例分担额为 ，通货膨胀率为r，则平均理赔额为 利用定理2.1证明. 例2. 假设某汽车保险的损失分布是参数为 的Pareto分布， 假定保单规定最高赔偿限额为200，通货膨胀率为10%，求保险公司支付的平均理赔额。 解： 2. 通货膨胀率是随机的 r.v.X:实际损失额 C:通货膨胀率，二者独立 Y=CX:经通货膨胀调整的实际损失 分别为C的分布函数和密度函数 r.v.X的分布函数为 为参数 尺度不变分布族 则经通货膨胀调整的实际损失的分布及密度函数为 又由C与X的独立性可得调整后损失额的期望与方差： 在非寿险精算中，理赔次数N是取值为非负整数的离散型随机变量，常用分布有： （1）Poisson分布 具有Poisson分布的随机变量很多，如某一医院在一天内的急诊人数、某一地区在一个时间间隔内发生交通事故的次数、单位时间内电话交换台接到的呼叫次数等。 一、个体保单损失次数的分布 §2.3 理赔次数分布 Poisson分布常表示小概率事件的发生，在风险同质的情况下，常用Poisson分布描述理赔次数。 性质1 可加性 n个相互独立的参数为 的Poisson随机变量的和服从参数为 的Poisson分布。 性质2 可分解性 设两种保险责任的总理赔次数N服从Poisson分布，参数为 而两种保险责任发生的概率分别为 则两种保险责任的理赔次数 是相互独立的Poisson r.v.，参数分别为 性质3 若保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个固定的时间区间内发生的保险事故次数服从Poisson分布。 性质4 参数很小时可近似二项分布；参数很大时可近似正态分布。 较大时，分布几乎对称，形状接近 （2）二项分布B(n,p) n重贝努里试验中成功k次的概率。 可作为同质风险等额保单索赔次数的概率模型。 n=10,p=0.7 n Pk 性质1： 方差小于均值 性质2 设每个风险发生损失的概率为p，二项分布可描述n个独立同分布的风险组成的风险集合的损失次数。 性质3 若用二项分布描述损失次数，损失次数存在最大值n，如一次交通事故造成的伤亡人数等. * * §2.2 理赔额的分布 §2.3 理赔次数的分布 §2.4 模型选择与拟合 §2.1 引言 可保风险需要具备下列特征： ?（1）风险必须是非投机性的，即纯粹风险，损失必须是偶然的、意外的； （4）具有经济上的可行性：损失必须足够大，不能太小； （2）损失可以确定和用货币计量； （3）损失必须有大量相似或同类的独立风险单位； （5）巨灾损失一般不会发生。 一、损失额与理赔额的区别联系 损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实际损失大小。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保险责任所支付的实际费用，由实际损失决定，一般不超过损失额。 §2.2 理赔额的分布 理赔 完全理赔（理赔额=损失额） 部分理赔 赔偿限额 免赔额 比例分担免赔 （理赔额损失额） 二、几种常见的损失分布 在非寿险精算中，损失额是非负连续型随机变量，其分布一般是正偏斜的，密度函数在右边有长“尾巴” 。 x f(x) 则称 X 服从参数为 的指数分布. 若 r.v X具有概率密度 （一）指数分布 指数分布具有“无记忆性”，又称为寿命分布，常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命. Gamma函数的性质 （二）Gamma分布 称为标准Gamma分布： 特别地， 指数分布 标准Gamma分布密度函数（theta=1） 性质1 当参数 越大，偏度越小，趋于无穷大时，Gamma分布近似正态分布。 性质3 Gamma分布乘以正常数r，仍是Gamma分布,参数 性质2 当参数 相同时，Gamm