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《运筹学》 一、考虑下列线性规划模型 某企业生产甲、乙、丙三类特种钢材，每吨甲，乙，丙钢材需要加入金属材料A，B，C，D的数量，原料限制及每吨甲，乙，丙钢材的利润如下表： 金属A （kg／吨） 金属B （kg／吨） 金属C （kg／吨） 金属D （kg／吨） 利润 （千元／吨） 钢材甲 7 5 1 2 12 钢材乙 1 8 6 5 9 钢材丙 8 1 2 5 10 原料限制（kg） 630 600 708 270 求使得总利润最高的生产方案。使用《运筹学》教学软件，得到结果如下： a．请根据上面求解线性规划问题输出表格说明：最优解，最优值，对偶价格是什么？他们的关系及含义是什么？ b．解释松弛 / 剩余变量的含义。如果原料A、B、C、D可以用相同的价格购买补充，你将优先请考虑哪一种，为什么？购买价格在什么范围内，你可以接受？ c．当钢材甲的利润由12千元／吨变为10千元／吨时，产品乙的利润由9千元／吨变为9.5千元／吨，这时原来的最优方案变不变？为什么？ d．当其它金属原料的供应量不变时，金属原料C的供应量在什么范围内可以保证对偶价格不变？试解释其含义。 用单纯形法求解下列线性规划问题： 考虑下面线性规划： Max s t. 其最优单纯形表为： 5 4 0 0 0 CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 25 0 0 1 2 -5 5 x1 35 1 0 0 1 -1 4 x2 10 0 1 0 -1 2 -z 0 0 0 -1 -3 （1）对c1进行灵敏度分析。（5分） （2）对约束条件右端项b2进行灵敏度分析。（5分） （3）增加一个新变量x6，，最优基是否改变？（10分） 二、某企业生产三种仪器A、B、C，所需要的加工时间分别为10小时、8小时和13小时，每月的正常加工时间为 600 小时；生产成本分别为12万元、15万元和10万元，每月可支付生产成本的资金为700万元；各产品可获得的利润均为成本的10％。根据调查分析，市场对仪器A、B、C的需求分别为30台、20台和18台。决策者考虑： 首先，要尽可能达到产品数量的需求；其次，要充分发挥企业的加工能力；第三，要求尽可能获得较多的利润；最后，要求加班时间最少。问应如何安排生产？(建模，不求解) 三、某企业生产甲、乙、丙三种产品，其每单位所消耗工时分别为1.6、2.0、2.5小时，每单位所需原料A分别为24、20、12 kg，所需原料B分别为14、10、18 kg。生产线每月正常工作时间为 240 小时，原料A、B的总供应量限制为 2400kg和1500kg 。生产一个甲、乙、丙产品各可获利润525、678、812元，试分别建立以下两种情况下的数学模型，不需要计算。 a．由于每单位丙产品的生产会产生 5kg 副产品丁，这些副产品丁一部分可以销售，利润为300元/kg，剩下的会造成污染，每kg需要排污费200元。副产品丁的需求量为每月不超过150kg。应如何确定生产计划，可使总利润最大？ b．工厂考虑到产品丙有污染，决定不生产丙而准备在另外的三种产品W、Q、G中选择1种或2种来进行生产，它们所消耗工时、所需原料A、B及利润如下表： 消耗工时 (小时/单位) 所需原料A (kg/单位) 所需原料B （kg／单位） 利润 (元/单位) W 1.4 19 14 350 Q 1.5 15 17 420 G 1.7 11 20 380 应如何确定生产计划，可使总利润最大？ 四、某公司拟将在A、B、C三个区新设6个超市，每区至少设置一个。根据市场调查，在不同地区设置不同数量的超市，每月的经营利润如下表所示（单位：百万元）： 超市数 地区 1 2 3 4 A 16 20 30 32 B 12 15 20 24 C 10 13 16 17 问应如何安排这些超市的设置，可使公司总的经营利润最大。试用动态规划求解此问题。 五、请确定 a、b、c 的排队论模型及输入数据，并写出要求解问题的符号。 a．某公用电话站有3台电话机，来打电话的人按泊松分布到达，平均每小时 24 人，每次通话的时间服从负指数分布，平均为 3 分钟。求： 到达时，不需等待即可打电话的概率； 平均排队人数； 为打电话平均耗费的时间。 b．一个机加工车间有30台相同的机器，每台机器平均每2小时需加油一次，由于工作强度是随机的，机器缺油时自动停机，停机数服从泊松分布。一个修理工完成一台机器的加油平均需要10分钟，加油时间服从负指数分布，现有3个加油工人。求： 系统里平均