运筹学18-排队论III-11.pptVIP

第18讲 排队论III 本讲提纲 1.多服务台负指数分布排队系统分析 1.1标准M/M/c模型(M/M/1/∞/∞) 1.2系统容量有限的M/M/c模型(M/M/c/N/∞)(*) 1.3顾客源有限的M/M/c模型(M/M/c/∞/m) (*) 2. 排队系统的优化 2.1 M/M/1 模型中的最优服务率μ 2.2 M/M/C模型中最优服务台数C 1.1 M/M/c/∞/∞模型(标准的M/M/c模型) 顾客的平均到达率为 ，每个服务台的平均服务率相同，为 。但就整个服务机构(多服务台总体)，其平均服务率(单位时间，整个服务系统可完成服务的顾客数量)与系统状态有关： 有关指标的计算 顾客等候的概率 期望队长( L ) 期望排队长( Lq ) 期望逗留时间、期望等待时间 或者，利用 计算 M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较 M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较 1.2系统容量有限的M/M/c模型(M/M/c/N/∞) 1.3 顾客源有限的M/M/c模型(M/M/c/∞/m) 这里的顾客源为有限数m，且mc, 和单服务台情形一样，设每个顾客的到达率为 ，即每个顾客在单位时间内来到服务系统的平均次数为 当系统状态为n时，系统外顾客的平均到达率为 2. 排队系统的优化 2.1 M/M/1 模型中的最优服务率μ 2.2 M/M/C模型中最优服务台数C 2.1 M/M/1 模型中的最优服务率μ 例：某地欲兴建一座港口码头，但只有一个装卸船只的位置，现要求设计装卸能力，装卸能力用每天装卸的船只数表示。已知单位装卸能力下每天的平均服务成本为2000元，船只到港后若不能即时装卸，停留一天的损失为1500元。船只的平均到达率为3只/天。设船只到达的时间间隔和装卸时间均服从负指数分布。试设计该港口的装卸能力，使每天的总成本最小。 解：根据题意： 例：某工厂为职工设立了24小时都能看病的医疗室(按单服务台处理)。病人到底的平均间隔为15分钟，平均看病时间为12分钟，且均服从负指数分布，因工人看病每小时给工厂造成的损失为30元。 (1) 工厂每天损失的期望值 (2) 平均服务率提高到多少，可使上述损失减少一半？ (2) 系统容量有限的M/M/1模型 该系统中顾客到达后在系统中超过N个时，将被拒绝，拒绝概率为PN, 则1-PN为接受概率, 所以λ(1-PN)为单位时间内进入系统的顾客平均数。 设每服务一个顾客可获得收入G元，于是单位时间收入期望值为λ(1-PN)G 元， 单位时间期望利润=单位时间期望收入-单位时间服务成本 (3) 顾客源有限的M/M/1模型 2.2 M/M/C模型中最优服务台数C 仅讨论标准的M/M/C模型，且在稳态下，单位时间全部费用的期望值为：(包括服务成本与等待费用) 例：建造一座码头，要求设计装卸船只的泊位数。已知：船只以泊松流到达，平均到达率3只/天；装卸时间服从负指数分布，每只船只的平均装卸时间为1/2天。每个泊位每天的装卸费为a = 2000元，每个船只每天的停留损失费为b = 1500元。问应设计几个泊位，以使每天总费用最小。 解：此模型为标准M/M/C模型，C待定。 每天的总费用 讨论：C = 2，3，4 * 服务台 服务台 服务台 顾客到达 顾客离去 顾客离去 顾客离去 队列 M/M/c系统是指顾客按泊松流输入，每个服务台的服务时间服从相同参数的负指数分布，有c个服务台的单队多服务台并列的排队系统。当某一个服务台空闲时，队列中的第一个顾客即到该服务台接收服务；服务完毕后随即离去。各服务台互相独立且服务率相同，即μ1=μ2=…=μc = μ 求解该差分方程,可求得稳态下，各状态概率为： 其中： 例 某售票处有三个窗口，顾客到达服从Poisson流，到达速率为0.9人／分，售票时间服从负指数分布，每个窗口的平均售票速率为0.4人／分。顾客到达后排成一队，依次到空闲窗口购票。求： (1)所有窗口都空闲的概率； (2)平均队长； (3)平均等待时间及逗留时间； (4)顾客到达后必须等待的概率。 窗口1 ? =0.4 窗口2 ? =0.4 窗口3 ? =0.4 ? = 0.9 解 λ/μ=2.25，ρ=λ/cμ= 0.75 (1) 所有窗口都空闲的概率，即求P0的值 (2) 平均队长，即求L的值，先求Lq (3) 平均等待时间和平均逗留时间，即求Wq和W的值 (4) 顾客到达后必须等待，即n≥3 图 a M/M/c型 窗口1 ? =0.4 窗口2 ? =0.4 窗口3 ? =0.4 ? = 0.3 ? = 0