数值计算 曲线拟合最小二乘法.docVIP

太原工业学院理学系 一、问题叙述 1、基本知识回顾 当已知数据量很大且含有误差时，作高次多项式的代数插值显然是不可行的。除了可用分段插值，特别是样条插值，数据的拟合也是比较常用的。 假设给定一组数据,设有 , 其中 是给定的一组函数，为待定的系数，显然我们不能要求所有的点都在函数定义的曲线上，因此其残差 {}， 通常不为零。成为残差向量。式中函数“接近”已知的信息，应从某种意义上使残差向量尽可能小。残差向量的2-范数为 它是关于特定系数的函数。极小残差向量，则要求 ， 经过简单计算知上式等价于 它是关于的线性方程组。将它改写成矩阵形式 ， 则其中的 最简单的是取函数为次的多项式，即 ， 其中。这时矩阵，这里 ， ， 当比较大时，是严重病态的。为验证这一点，将区间【0,1】个小区间，是第个小区间中的点。 则对任意的， ， 所以矩阵元素（当较大时）近似为 2、简述问题 （1）已知在测量小车（恒速）位移（）和时间()的关系时，测得的数据如下： 表1 小车时间()和位移关系（）关系 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 4 7 8 9 12 14 15 18 （2）对某日隔两小时测一次气温。设时间为 ,气温为，i=0，2 ，4，…，24。数据如下： 表2 温度()随时间( )变化关系 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 15 14 14 16 20 23 28 27 26 25 22 18 16 二、问题分析 当已知数据量很大且含有误差时，作高次多项式的代数插值显然是不可行的。除了可用分段插值，特别是样条插值，数据的拟合也是比较常用的。 第（1）小题我们从图（1）左图中可以看出其基本为直线趋势，所以拟合的曲线应该是一次直线，我们分别用三次样条插值法和最小二乘一次拟合进行较. 第（2）小题：用精确的解析式子描述一天的气温变化规律是不可能的也是没有必要的，但根据所测得的数据，可以用拟合数据方法求出近似的解析式子。根据一天内气温的变化趋势，我们可以看出用三次多项式拟合比较合理。 三、程序及实验结果 (1)首先画出数据的散点图，输入 x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];y=[0 2 4 7 8 9 12 14 15 18]; subplot(1,2,1);plot(x,y,o) grid on 从图（1）左图中可以看出其基本为直线趋势，所以拟合的曲线应该是一次直线，我分别用三次样条插值法和最小二乘一次拟合进行比较，下面是借Matlab 工具进行作图，图形图（1）右图。 其程序如下： x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];y=[0 2 4 7 8 9 12 14 15 18]; p=polyfit(x,y,1) x1=0:0.01:9; y1=polyval(p,x1); x2=0:0.01:9; y2=interp1(x,y,x2,spline); subplot(1,2,2);plot(x1,y1,k,x2,y2,r) grid on p = 1.9333 0.2000 (2) 用精确的解析式子描述一天的气温变化规律是不可能的也是没有必要的，但根据所测得的数据，可以用拟合数据方法求出近似的解析式子。 根据一天内气温的变化趋势，我们可以看出用三次多项式拟合比较合理。 其程序如下： x=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24]; y=[15 14 14 16 20 23 26 27 26 25 22 18 16]; plot(x,y,o); grid on hold on p=polyfit(x,y,3) x1=0:0.01:24; y1=polyval(p,x1); plot(x1,y1,r) axis([0 24 12 28]) p = -0.0061 0.1474 -0.0246 13.7390 四、结论 在图1左图是实际测得的数据，右图中的红色曲线表示是三次样条插值法，黑色直线是最小二乘法拟合所得。 从图1比较中我们可以很明显的看出，插值曲线要求严格通过所给的每一个数据点，这会保留所给数据的误差，如果个别数据误差很大，那么插值效果显然不好。也就是说我们所给的数据本身不一定可靠，