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数列不等式的放缩技巧 数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能，因而成为高考压轴题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩，其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用不等式放缩 1．均值不等式法 例1．设求证 解析：此数列的通项为 ，，即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 （其中等的各式及其变式公式可选用） 例2．（02年全国联赛山东预赛题）已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证： 简析： 例3．求证：. 简析： =，得证。 2．利用有用结论 (1)利用性质 例4．求证 简析：利用假分数的性质可得 即 (2)利用贝努利不等式 如例4，利用贝努利不等式的一个特例： 令得： 所以 （3）运用柯西（）不等式 例5. （90年全国卷）已知函数 求证：对任意且恒成立。 简析：运用柯西（）不等式的证法： 而由不等式得 (时取等号) （），得证！ （4）利用结论（） 例6.（05辽宁卷第22题）已知 （1）用数学归纳法证明；（2）若对都成立，证明 解析：（2）结合第（1）问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路： 于是，所以 ，即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；另本题还可用结论来放缩： ， 即 （5）二项放缩 例7． 设，求证：数列单调递增且 解析：引入一个结论：若则（证略） 整理上式得（）， 以代入（）式得即单调递增。 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有， 又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：①上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列的极限存在，为无理数。 ③利用结论（）：。 （6）利用题目所给的不等式放缩 例8．（05年湖北卷）已知不等式表示不超过 的最大整数。设正数数列满足：求证: 简析：当时，即 于是当时有 二、裂项放缩 例9.(1)求的值; (2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 技巧积累: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 三、利用单调性放缩 1．利用数列的单调性 如例1，令则， 递减，有，故 再如例4，令则，即 递增，有，得证！ 注：例4可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值。 2．利用函数的单调性函数 例10．（02年北京卷第（19）题）数列由下列条件确定：，． （1）证明：对总有；(2)证明：对总有 解析：构造函数易知在是增函数。 当时在递增，故 对(2)有，构造函数它在上是增函数， 故有，得证。 注：①本题的科学背景是计算机开平方设计迭代程序的根据； 高等数学背景是数列单调递减有下界因而有极限： ②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示具有重要的指导作用。 ③类题有06年湖南卷理科第19题：已知函数,数列{}满足: 证明:(ⅰ);(ⅱ). 例11．求证：. 先构造函数有,从而 所以 求证:提示:函数构造形式: ，求的最小值； （2）设正数满足，证明 。（05年全国卷Ⅰ第22题） 解析：本题内蕴丰富，有深厚的科学背景：与高等数学的凸函数有关，也是信息科学中有关的问题。（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）： 法1：由由为下凸函数得 又， 所以 法2：借鉴詹森（jensen）不等式：若为上的下凸函数，则对任意 ，有特别地，若则有 （若为上凸函数则改“”为“”）证明思路与方法： （i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii）假定当时命题成立，即若正数， 则 那么当时，若正数（*） 为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段： 令 则为正数，且 由归纳假定知 （1） 同理，由得 （2） 综合（1）（2）两式得 即当时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立. 注：式②也可以直接使用函数下凸，用（Ⅰ）中结论得到； 为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合：而变成项； 本题可作推广：若正数满足，则 （简证：构造函数，易得 故） （2）转化为加强命题放缩 例14．设，定义，求证：对一切正整数有 解析：用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因