第13章 群 电子科大离散数学内部教学课件.ppt

第十三章 群 对具有相同性质的代数系统进行集中研究，而在研究的过程中，可以将结合律看成是代数系统的基本性质，利用这种方法来对代数系统进行研究，从而形成了很多特定的代数系统。 如半群、含么半群、群、环、域、模、格、布尔代数等。 群是一种十分重要的代数系统，在编码理论、密码安全中也有很广泛的应用。 13.2 半群与含幺半群 本节介绍半群和它的性质，以及特殊的半群，如交换半群、循环半群、含幺半群、循环含幺半群及其性质。 半群与含么半群是最简单的代数系统之一，它在时序线路、形式语言理论、自动机理论中均有很广泛的应用。 一般地，我们把只含一个二元运算的代数系统S,*称为二元代数或广群。 例 代数系统Z，+,Q，+,R，+，C，+关于加法运算“+”均可作成群，且都是Abel群，其中，幺元均为“0”，任意元素“a”的逆元为“-a”； 代数系统Z,×,Q,×,R,×,C,×关于乘法运算“×”均不能作成群，因为，它们虽有幺元“1”存在，但有元素“0”无逆元； 代数系统Q-{0}，×,R-{0}，×,C-{0}，×关于乘法运算“×”均可作成群，且它们都是Abel群，其中，幺元均为“1”，对任意元素“a”，其逆元为“1/a”； 例(续) 代数系统P(A),∪,P(A),∩关于集合的求并运算“∪”和求交运算“∩”均不能作成群，因为，它们虽然分别有幺元“Φ”和“A”，但对任意集合x?Φ和x?A，都无逆元，其中A是任意的集合； 代数系统A,∨,A,∧关于命题的求析取运算“∨”和求合取运算“∧”均不能作成群，因为，它们虽然分别有幺元“F”和“T”，但对任意命题x?F和x?T，都无逆元，其中A是全体命题的集合。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 可先用6,+6举例。 * * * * * * 例13.6.1 设H1, *和H2, *是群G, *的正规子群，证明H1∩H2, *也是正规子群。 证明 对?a∈G，?x∈a (H1∩H2)，则存在b∈H1∩H2，使得 x = a*b， 由b∈H1∩H2，可得 x = a*b∈a H1，x = a*b∈a H2， 因此，x = a*b∈aH1∩aH2。故 a(H1∩H2) ? aH1∩aH2。 * 例13.6.1（续） ?x∈aH1∩aH2，即x∈aH1和x∈aH2，则存在x1∈H1，x2∈H2，使得 x = a?x1，x = a*x2， 则a*x1 = a*x2。群G, *满足消去律，有 x1 = x2， 因此，x1∈H2，又x1∈H1，得到x1∈H1∩H2，故 x = a*x1∈a (H1∩H2)， 因此，aH1∩aH2 ? a (H1∩H2) 由上可知， a(H1∩H2) = aH1∩aH2， 同理可证， (H1∩H2)a = H1a∩H2a。 * 例13.6.1（续） 由H1和H2是正规子群，有 aH1 = H1a, aH2 = H2a， 因此， a (H1∩H2) = aH1∩aH2 = H1a∩H2a = (H1∩H2)a， 即对?a∈G，有 a(H1∩H2) = (H1∩H2)a。 故H1∩H2, *是正规子群。 * 定理13.6.1 设H, *是群G, *的子群，则H是G的正规子群的充分必要条件是： 对?a∈G, h∈H，都有a*h*a-1∈H。 证明 必要性：若H是G的正规子群，则a∈G, h∈H，有a*h∈aH = Ha，即存在h1∈H，使得 a*h = h1*a，于是 a*h*a-1 = h1∈H，故a*h*a-1∈H。 * 定理13.6.1（续） 充分性： ?a*h∈aH，因a*h*a-1∈H，所以，存在h1∈H，使得 a*h*a-1 = h1，于是 a*h = h1*a， 从而aH? Ha。 又?h*a∈Ha，则 a-1*h*(a-1)-1 = a-1*h*a∈H， * 定理13.6.1（续） 所以，存在h2∈H，使得 a-1*h*a = h2，于是 h*a = a*h2， 从而Ha ? aH。故对 ?a∈G，都有aH = Ha。即H是G的正规子群。 推论13.6.1 交换群的任何子群是正规子群。 * 作业 P414： 31、35、36、39 36:8080/lssx/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例13.4.1（续） 证明 因为对n∈Z，有 n = 1 + 1 + … + 1 = 1n