梁的弯曲振动 振动力学课件.ppt

第二节 梁的弯曲振动 假定梁的初始条件为： 代入： 两式乘 并沿梁长积分，由正交性条件可得： 得到 后，即可得到梁的响应 第 个正则坐标方程 第 个正则模态响应： 如果作用在梁上的载荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩. 利用 函数，可以表示为: 有： 例题1： 等截面简支粱受初始位移激励，求响应。 其中 解： 因此 为奇数 为偶数 响应： 可以看出，响应中第三阶谐波只有第一阶的1/243，更高阶谐波所占的成分就更少。 这是由于初始位移接近于第一阶模态的缘故。 例题2： 汽车匀速过桥问题可简化为常集中力 沿梁匀速移动如图，试求初始静止条件下梁的响应。 解: （前题已求出） 总响应： 求出 再按例题4方法求解。 其中 可令 后梁自由振动，新的初始条件： （3） 当 时产生第 阶共振； （2） 第一项车辆载荷激起的受迫振动响应， 第二项为车重自由振动； （1） 简支梁初始响应中点受常力 P 作用产生静变形， 求：当 P 突然移出时梁的响应。 例题3： 解： 由材力得初始条件: 梁中点的静挠度. 梁两端简支 固有频率： 振型函数： 代入归一化条件： 正则模态 梁两端简支 固有频率： 振型函数： 代入归一化条件： 模态初始条件： 模态初始条件： 没有激振力，正则广义力为零 正则广义力 模态响应： * * 一、动力学方程 考虑细长梁的横向弯曲振动 假设：梁各截面的中心惯性轴在同一平面内, 外载荷作用在该平面内,梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形,在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。 伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam） 外部力： 单位长度梁上分布的外力 梁参数： 单位长度梁的质量 截面对中性轴的惯性矩 弹性模量, 梁横截面积 微段受力分析 截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 距原点 处的截面在 t 时刻的横向位移 动力平衡关系由达朗贝尔原理得 此方程 需待定 2个关于 的积分常数。 故必须列出 4个边界条件，2个初始条件。 4个关于 的积分常数 二、固有频率和模态函数 自由振动方程 （1）式的解为 （2）式因 除少数特殊情形，一般无解析解 对于等截面 为常数，则 设 有本特征方程 4个本征值: 通解为 或 式中 由梁的边界条件导出 系统的振动解 由系统初始位移和速度确定。 由边界条件确定。 解出无穷个固有频率 对应有模态函数 由此构成第 个主振动 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零 简支端（铰支）（位移、力混界） 挠度和弯矩等于零 自由端（力边界） 弯矩和剪力等于零 常见的约束状况与边界条件 例题1： 求简支梁的固有频率和模态 ， 解： 由于 解出 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 模态函数 令 频率方程 例题2： 求悬臂梁的固有频率和模态 ， 解：模态函数 固定端：挠度和截面转角为零 自由端：弯矩和截面剪力为零 其中参数定义为 频率方程 可利用数值方法和图解法 各阶固有频率为 对应的各阶模态函数为 铅垂梁的前三阶模态形状 例题3 求图示结构梁的频率方程。 图中弹性支承的刚度 均为已知。 剪力平衡条件： 弯矩平衡条件： 解：一端固定，另一端有弹性支撑 边界条件 固定端：挠度和截面转角为零 弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等 弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比 弹簧一：卷簧，与截面转角成正比 固定端 令 弹簧支撑端 解出频率方程： 导出悬臂梁频率方程： 例题4： 悬臂梁自由端附有质量求频率方程。 解： 固定端： 自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡 利用相同的方法，得频率方程： 其中： 为集中质量与梁质量之比 为梁质量 说明： 以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响 铁木辛柯梁 （Timoshenko beam） 考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯 性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低。 三、模态函数的正交性 变截面梁的自由振动方程： 主振动： 代