1.2无阻尼自由振动 振动力学课件.pptVIP

第二节 无阻尼的自由振动 无阻尼的自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 一、无阻尼自由振动 一个系统只在初始时受到外界干扰，例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振动，称为自由振动。 当 时为无阻尼的自由振动 令 为位移，以质量块 的静平衡位置为坐标原点， 为静变形。 当系统受到初始扰动时，由 牛顿第二定律，得： 在静平衡位置： 自由振动微分方程 ： 设初始条件 解出： ∴ 振幅 相位角 固有频率 单位：弧度/秒（rad/s） 结论：固有频率取决系统的物理特性（质量、刚度）， 与初始条件及激励（外界）条件无关。 固有频率 ——系统决定 振幅 初相位 ——初始条件决定 求：单层房屋水平扰动固有频率 对于单自由度系统，求系统的固有频率 常用的三种方法： 建立动力学方程（牛顿法和拉氏法） 能量法（瑞利法） 弹性元件质量或刚度等效法 本节重点： 振动方程三要素 固有频率常用的三种方法 练习：圆筒质量 ,质量惯性矩 ，在平面上在弹簧 的限制下作纯滚动，如图所示，求其固有频率. 解法2： 广义坐标 动能 势能 零势能位置1 零势能位置1 l m a k/2 k/2 例：已知均质圆柱 质量m，半径R 与地面纯滚动 在A、B点挂有弹簧 确定系统微振动的固有频率 k1 a b R k1 k2 k2 A B 解： k1 a b R k1 k2 k2 A B 广义坐标：圆柱微转角 圆柱做平面运动，动能： C点为运动瞬心 势能： C A点速度： B点速度： k1 a b R k1 k2 k2 A B 动能： 势能： k1 R k2 M m 例： 铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统 确定系统微振动的固有频率。 滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。 解： k1 R k2 M m 广义坐标：质量块的垂直位移 动能： x 势能： k1 R k2 M m 动能： x 势能： 小结： 能量法的概念: 利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即： 求系统的固有频率和振动方程，固有频率即 或 三、瑞利法 － 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限; m k x 0 － 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。 瑞利法的概念: 在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即 从而计算系统固有频率。 瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。 例如：弹簧质量系统 设弹簧的动能: 系统最大动能： 系统最大势能： 若忽略 ，则 增大 弹簧等效质量 m x 0 因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. 四、等效质量和等效刚度 方法1：能量法 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。 简化系统的等效质量 简化系统的等效刚度 动能 势能 零势能位置1 l m a k/2 k/2 k1 R k2 M m x 动能 势能 方法2：定义法 等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量 。 例：串联系统 总变形： 在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 弹簧2变形： 根据定义： 或 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 P m k1 k2 例：并联系统 两弹簧变形量相等： 受力不等： 在质量块上施加力 P 由力平衡： 根据定义： 结论：并联弹簧的刚度是原来各个弹