高二数学三垂线定理精选.pptVIP

课题：正射影和三垂线定理（一） 探究性研讨课： A ? a O P A B A` B` l A A` α α A B A` B` B α A C A` B` C` A` A 课前准备： 1、复习提问：线 线 线 面 线 线 2、观察下图、小组讨论完成对射影等概念的理解 总结问题1：给出射影定义。 思考： 如何找出斜线的射影 A ? a O P 探究问题1：已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，若a⊥AO。 则得到a与那些直线垂直。 三垂线定理探究 探究问题2：如何证明你的结论 探究问题3：用文字语言叙述上述结论 证明过程分析： a⊥PO PA⊥? a ? ? AO⊥a a⊥平面PAO PO?平面PAO PA ⊥a A ? a O P 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 结论汇总1： 板书证明过程 A ? a O P 结论汇总2：三垂线定理基本图形的特点分析 1:一面 2:四线 3:三垂直 线面垂直 线射垂直 线斜垂直 探究问题4：三垂线定理的图形有哪些特点？ （构成元素、三垂的解释） P C B A 例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴ AC是斜线PC在平面ABC上 的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC 结论应用： 例2(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD P O A B C D 证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点 ∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影 ?? PO⊥BD 同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 ?? PC⊥BD 1、三垂线定理解题的关键：定面、找线！ 怎么找？ 运用三垂线定理证明的一般步骤： 二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影） 三证（证平面内一直线与斜线垂直） P C B A 一定（定平面） 例题汇总 P O A B C D 课后小结 P M C A B 例3 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BC⊥AM BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点 ?? PM ⊥BC ∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影 ?? 再次演练： 分析：按步骤、找三垂 课堂小结： 1、记住小组讨论的结果：三垂线定理、及证明（线线垂直—线面垂直—线线垂直）. 2、三垂线定理的特征（特点）：一面四线三垂直. 3、三垂线定理解题的三个步骤：一定平面、二找直线、三证垂直. 下节课内容 4、使用三垂线定理还应注意的问题： 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：相交直线、异面直线 P A O a α 三、巩固性练习： 1、（1）下列命题中正确的是 ( ) ①两条异面直线在同一平面内的射影必相交． ②与一条直线成等角的两条直线必平行． ③与一条直线都垂直的两直线必平行． ④同时平行于一个平面的两直线必平行． （A）①、②；（B）①、③；（C）②、④；（D）以上都不对 3、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形 2、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定 线射垂直 线斜垂直 P A O a α P A O a α 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 ？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P A