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精品论文 参考文献 运用函数概念解题策略 许祥东 江苏省沛县第二中学 苏教版数学必修（1）P29第6题是：直线x＝a和函数y＝x2＋1的图象的公共点可能有几个？ 题目很简单，解题的关键是因aisin;R属于函数y＝f（x）的定义域R，由函数的定义知，公共点只能有1个。 引申练习：直线x＝a和函数y＝f（x）的图象的公共点可能有几个？ 平时学生做这道题出错很多，但有上述题目作铺垫，本题易得答案：0或1个（解题的关键是看a是否属于函数y＝f（x）的定义域）。 通过上述两题解法类比，说明平时处理函数题时，如能考虑函数的概念，重视题型类比，看似较难的函数题目便会迎刃而解。 下面根据平时教学点滴积累，仅举数例，一窥函数概念在数学解题中的应用，提高应用函数定义解题意识。 一 映射型 已知集合A＝｛a，b，c｝，B＝｛－1，0，1｝，求建立从A到B且满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的函数f个数。 解析：本题较常见，但学生往往不知从何处找解题突破口，事实上，解题关键是对代数式f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的理解，由函数定义知f（a），f（b），f（c）是属于集合B中的元素，问题转化成从B中无限制，可重复任取3个元素满足f（a）＋f（b）＋f（c）＝0，由于每个式子对应着一个函数关系，又因为符合f（a）＋f（b）＋f（c）＝0的表达式仅有－1＋1＋0＝0、0＋0＋0＝0两类，故符合条件的函数关系个数共有 ＋1＝7。 据此，下列较难问题很易解决，如： 已知集合A＝｛a，b，c｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，求建立从A到B的映射f满足f（a）﹥f（b﹥f（c）的映射个数。 由上解题可知，符合条件的映射关系个数共有 ＝10。 上述问题都是映射类，学生做起来感觉较难的题，通过上述问题的解决发现，在解决问题中若能紧扣映射定义，揭示建立映射满足的条件，许多题目便很易解决。 二 函数型 例1，若f（x）与g（x）都是定义在R实数集上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解。则g［f（x）］不可能为（ ）。 A、x2＋x－ B、x2＋x＋ C、x2－ D、x2＋ 此题乍看不知从何处下手，但如能考虑函数的定义，方程x－f［g（x）］＝0有实数解，设解为a则代入得a－f［g（a）］＝0，把方程看作函数，a＝f［g（a）］可理解为在g（x）的定义域中存在元素a经过映射g，对应的象记为b，b经过映射f后，在f（x）的值域中存在a与之对应。这样对g［f（x）］而言，在上述解释下，由函数定义知存在b，使得g［f（b）］＝b成立，即方程g［f（x）］＝x有解，逐一代入验证，选B。 例2，对任意xisin;R，函数y＝f（x）表示－x＋3， x2－4x＋3中的较大者，则y＝f（x）的最小值为 。 这个题有许多学生不知从哪思考，细想一下，y＝f（x）是函数，如能想到函数的定义，问题便豁然开朗。函数y＝f（x）的构成就是对给定的三个函数而言，在公共的定义域内取相同的x0值，所对应的三个函数值中最大的值若记为y0，则y0＝f（x0），即点（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，故在同一坐标系下，画出给定三个函数的图象，确定y＝f（x）的图象，由图易知，y＝f（x）min＝2。 例3，函数f：A＝｛1，2，3｝rarr;B＝｛1，2，3｝满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有几个？ 确定函数关系有难度，但若考虑函数的定义，确立A到B函数关系的关键是A中任意元素在B中对应的元素具体是什么。有不确定性，再结合f（f（x））＝f（x）知，共3类（B中一个元素，2个元素，3个元素有原象），故符合条件的函数关系式共10个。 例4，已知函数f（x）＝ ，g（x）是二次函数， 若f（g（x））的值域是［0，＋infin;），求函数g（x）的值域的取值范围。 分析：结合函数定义，本题相当于已知函数的值域，确定函数的定义域。一般来说答案不惟一，考虑到题目给出的具体条件g（x）是二次函数，这实际上给出了函数的定义域的形式，结合图象得出答案，为［0，＋infin;）。 三 反函数型 例1，已知函数f（x）＝4x＋2x＋1，则f－1（3）＝ 。 由反函数的定义知，求f－1（3）相当于令f（x）＝3，求