复变函数与积分变换Fourier变换简介PPT.ppt

3.3.12 能量积分 若 ，则 该等式又称为巴塞瓦等式。 3.3.13 卷积定理 设 ， 都满足Fourier积分定理中的条件， 且 ， ，则 四、卷积与相关函数 1.卷积的意义 若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t) * f2(t)，即 2.卷积的性质 积分变换的作用 LINEAR ALGEBRA Fourier变换简介 1. Fourier级数 一、 Fourier 积分 以2π为周期的周期函数f (t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上f(t)可以展成Fourier级数，在f(t)的连续点处，级数的三角形成为 以T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成Fourier级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为 2.Fourier 级数的复指数形式 其中， 其中 称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n次谐波频率。 在fT(t)的间断点t0处，式(1.1)的左端代之为 二、 Fourier变换 定义 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组Fourier变换对，如果成立 并称F(ω)为f (t)的象函数或Fourier变换，记为F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象原函数或Fourier逆变换，记为F-1[F(ω)] 2.1 Fourier变换的定义 （2.1） 这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱 2.2 Fourier变换的物理意义——频谱 2.2.1 非正弦的周期函数的离散频谱 2.2.2 连续频谱 在频谱分析中, Fourier变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作Fourier变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 【例1】 求矩形脉冲函数 的Fourier变换及其积分表达式。 t f (t) 2.3 δ函数及其Fourier变换 2.3.1 δ函数的定义 (1)(狄拉克)满足下列两个条件的函数称为δ函数。 (2)普通函数序列极限形式的定义 其中 (3)广义函数形式的定义 若f (t)为无穷次可微函数，则 2.3.2δ函数在积分变换中的作用 (1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可微的函数的乘积在(-∞,+∞)上的积分都有确定的值。 (3)δ函数的Fourier变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义Fourier变换都可以利用δ函数而得到。 2.3.3 筛选性质 2.3.4δ函数的Fourier变换 于是d (t)与常数1构成了一Fourier变换对. 证法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆变换可得 【例3】证明：1和2pd (w)构成Fourier变换对. 证法1： 由上面两个函数的变换可得 【例5】 求正弦函数f (t)=sinw0t的Fourier变换。 t p p -w0 w0 O w |F(w)| ? 【例6】 证明： 证： 3.1 常用函数Fourier变换公式 三、Fourier变换的公式和性质 3.2 Euler公式及其推出的几个公式 3.3 Fourier变换的性质 3.3.1 线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则 b 3.3.2 位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质。 3.3.3 对称性质 若 ，则 3.3.4 相似性质 若 ，则 3.3.5 象函数的位移性质 若 ，则 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。 3.3.6 翻转性质 若 ，则 ?3.3.7 微分性质 若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时，